MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcld 11764
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 11731 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  (class class class)co 6549   · cmul 9820  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  reccn2  14175  eirrlem  14771  nrginvrcnlem  22305  ovolscalem1  23088  itg2gt0  23333  aaliou3lem1  23901  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem8  23904  cosordlem  24081  logcnlem2  24189  cxp2limlem  24502  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem4  24558  lgamgulmlem5  24559  lgamgulmlem6  24560  lgsquadlem2  24906  chtppilimlem1  24962  chtppilim  24964  chebbnd2  24966  chto1lb  24967  rplogsumlem1  24973  dchrvmasumlem1  24984  chpdifbndlem1  25042  chpdifbndlem2  25043  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntpbnd2  25076  pntlemd  25083  pntlema  25085  pntlemb  25086  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemo  25096  pntlem3  25098  pntleml  25100  pnt  25103  ttgcontlem1  25565  2sqmod  28979  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  faclim  30885  unbdqndv2  31672  knoppndvlem17  31689  rrndstprj2  32800  pellfund14  36480  0ellimcdiv  38716  wallispilem3  38960  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  stirlinglem2  38968  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem12  38978  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  dirkertrigeqlem1  38991  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem4  38999  hoiqssbllem1  39512  hoiqssbllem2  39513  hoiqssbllem3  39514  amgmwlem  42357  amgmw2d  42359
  Copyright terms: Public domain W3C validator