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Theorem stirlinglem3 38050
 Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that , the Wallis formula for π , can be expressed in terms of , the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the , in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem3.1
stirlinglem3.2
stirlinglem3.3
stirlinglem3.4
Assertion
Ref Expression
stirlinglem3

Proof of Theorem stirlinglem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem3.4 . 2
2 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . 13
3 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . 13
4 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . 13
52, 3, 43syl 18 . . . . . . . . . . . 12
6 2cnd 10704 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
86, 7mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14
98sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . . . 13
10 ere 14220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1110recni 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
13 epos 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1410, 13gt0ne0ii 10171 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
167, 12, 15divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . 14
1716, 2expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
189, 17mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12
19 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2220, 21rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . . . 14
2423gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . . . 13
25 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
267, 12, 25, 15divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . 14
27 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . 14
2816, 26, 27expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . 13
299, 17, 24, 28mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . 12
305, 18, 29divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
31 stirlinglem3.1 . . . . . . . . . . . 12
3231fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
3330, 32mpdan 681 . . . . . . . . . 10
3433oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
35 stirlinglem3.3 . . . . . . . . . . . 12
3635fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . 11
3718, 36mpdan 681 . . . . . . . . . 10
3837oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
3934, 38oveq12d 6326 . . . . . . . 8
40 4nn0 10912 . . . . . . . . . . 11
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10
425, 18, 29, 41expdivd 12468 . . . . . . . . 9
4342oveq1d 6323 . . . . . . . 8
445, 41expcld 12454 . . . . . . . . 9
4518, 41expcld 12454 . . . . . . . . 9
4641nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10
4718, 29, 46expne0d 12460 . . . . . . . . 9
4844, 45, 47divcan1d 10406 . . . . . . . 8
4939, 43, 483eqtrd 2509 . . . . . . 7
5049eqcomd 2477 . . . . . 6
5150oveq2d 6324 . . . . 5
52 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . 13
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5453, 2nn0mulcld 10954 . . . . . . . . . . 11
55 faccl 12507 . . . . . . . . . . 11
56 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . 10
5857sqcld 12452 . . . . . . . . 9
596, 8mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12
6059sqrtcld 13576 . . . . . . . . . . 11
618, 12, 15divcld 10405 . . . . . . . . . . . 12
6261, 54expcld 12454 . . . . . . . . . . 11
6360, 62mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
6463sqcld 12452 . . . . . . . . 9
6520, 22rpmulcld 11380 . . . . . . . . . . . . 13
6665sqrtgt0d 13551 . . . . . . . . . . . 12
6766gt0ne0d 10199 . . . . . . . . . . 11
6820rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . . . 14
696, 7, 68, 25mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . 13
708, 12, 69, 15divne0d 10421 . . . . . . . . . . . 12
71 2z 10993 . . . . . . . . . . . . . 14
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7372, 27zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . 12
7461, 70, 73expne0d 12460 . . . . . . . . . . 11
7560, 62, 67, 74mulne0d 10286 . . . . . . . . . 10
7663, 75, 72expne0d 12460 . . . . . . . . 9
7758, 64, 76divcan1d 10406 . . . . . . . 8
7857, 63, 75, 53expdivd 12468 . . . . . . . . . 10
7978eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
8079oveq1d 6323 . . . . . . . 8
8177, 80eqtr3d 2507 . . . . . . 7
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8785, 86oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8884, 87oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
8982, 88oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
9089cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . 13
9131, 90eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11
93 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
94 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . 15
9594fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
96 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
9896, 97oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
9995, 98oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13
10093, 99oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
101100adantl 473 . . . . . . . . . . 11
102 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . 13
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12
105103, 104nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . 11
10657, 63, 75divcld 10405 . . . . . . . . . . 11
10792, 101, 105, 106fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10
108107oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
109108eqcomd 2477 . . . . . . . 8
110109oveq1d 6323 . . . . . . 7
111 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
11299adantl 473 . . . . . . . . . . 11
113111, 112, 105, 63fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10
114113oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
115114eqcomd 2477 . . . . . . . 8
116115oveq2d 6324 . . . . . . 7
11781, 110, 1163eqtrd 2509 . . . . . 6
11888cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10
120119fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
121120eqcomd 2477 . . . . . . . 8
122121oveq1d 6323 . . . . . . 7
123122oveq2d 6324 . . . . . 6
124107, 106eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
125 stirlinglem3.2 . . . . . . . . . . 11
126125fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10
127124, 126mpdan 681 . . . . . . . . 9
128127eqcomd 2477 . . . . . . . 8
129128oveq1d 6323 . . . . . . 7
13035a1i 11 . . . . . . . . . 10
131130fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
132131eqcomd 2477 . . . . . . . 8
133132oveq1d 6323 . . . . . . 7
134129, 133oveq12d 6326 . . . . . 6
135117, 123, 1343eqtrd 2509 . . . . 5
13651, 135oveq12d 6326 . . . 4
137136oveq1d 6323 . . 3
138137mpteq2ia 4478 . 2
13941, 2nn0mulcld 10954 . . . . . . . 8
1406, 139expcld 12454 . . . . . . 7
14149, 44eqeltrd 2549 . . . . . . 7
142140, 141mulcomd 9682 . . . . . 6
143142oveq1d 6323 . . . . 5
144143oveq1d 6323 . . . 4
145127, 124eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
146145sqcld 12452 . . . . . . 7
147130, 119eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
148147, 112, 105, 63fvmptd 5969 . . . . . . . . 9
149148, 63eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
150149sqcld 12452 . . . . . . 7
151 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . 12
15254, 55, 1513syl 18 . . . . . . . . . . 11
15357, 63, 152, 75divne0d 10421 . . . . . . . . . 10
154107, 153eqnetrd 2710 . . . . . . . . 9
155127, 154eqnetrd 2710 . . . . . . . 8
156145, 155, 72expne0d 12460 . . . . . . 7
157148, 75eqnetrd 2710 . . . . . . . 8
158149, 157, 72expne0d 12460 . . . . . . 7
159141, 146, 140, 150, 156, 158divmuldivd 10446 . . . . . 6
160159eqcomd 2477 . . . . 5
161160oveq1d 6323 . . . 4
16233, 30eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
163162, 41expcld 12454 . . . . . . . 8
16438, 45eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
165163, 164, 146, 156div23d 10442 . . . . . . 7
166165oveq1d 6323 . . . . . 6
167166oveq1d 6323 . . . . 5
168163, 146, 156divcld 10405 . . . . . . 7
169140, 150, 158divcld 10405 . . . . . . 7
170168, 164, 169mulassd 9684 . . . . . 6
171170oveq1d 6323 . . . . 5
172164, 169mulcld 9681 . . . . . . 7
173 1cnd 9677 . . . . . . . 8
1748, 173addcld 9680 . . . . . . 7
175 0red 9662 . . . . . . . . 9
176105nnred 10646 . . . . . . . . 9
177 2re 10701 . . . . . . . . . . . 12
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11
179 nnre 10638 . . . . . . . . . . 11
180178, 179remulcld 9689 . . . . . . . . . 10
181 1red 9676 . . . . . . . . . 10
182180, 181readdcld 9688 . . . . . . . . 9
183105nngt0d 10675 . . . . . . . . 9
184176ltp1d 10559 . . . . . . . . 9
185175, 176, 182, 183, 184lttrd 9813 . . . . . . . 8
186185gt0ne0d 10199 . . . . . . 7
187168, 172, 174, 186divassd 10440 . . . . . 6
188164, 140, 150, 158div12d 10441 . . . . . . . . . 10
1899, 17, 41mulexpd 12469 . . . . . . . . . . . . 13
19060, 62sqmuld 12466 . . . . . . . . . . . . 13
191189, 190oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
192148oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13
19338, 192oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12
1949, 41expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
19560sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13
19617, 41expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
19762sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . 13
19860, 67, 72expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . 13
19962, 74, 72expne0d 12460 . . . . . . . . . . . . 13
200194, 195, 196, 197, 198, 199divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . 12
201191, 193, 2003eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . 11
202201oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
20365rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204 resqrtth 13396 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
206205oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
207 2t2e4 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208207eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
210209oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2119, 53, 53expmuld 12457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21222rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
213 resqrtth 13396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215214oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216210, 211, 2153eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
2176, 6, 7mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
218207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219218oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
220217, 219eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15
221216, 220oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14
2226, 7sqmuld 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
223 sq2 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225224oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
226222, 225eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
227226oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
228 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
229 4ne0 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230228, 229dividi 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
231230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2327sqvald 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233232oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2347, 7, 25divcan4d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
235233, 234eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
236231, 235oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23741nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2387sqcld 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
239229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
240237, 237, 238, 7, 239, 25divmuldivd 10446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2417mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
242236, 240, 2413eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
243227, 242eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14
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