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Theorem stirlinglem3 29717
Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that  V, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of  A, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the  A, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem3.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem3.2  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem3.3  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem3.4  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem3  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem stirlinglem3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem3.4 . 2  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
2 nnnn0 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
3 faccl 12045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
4 nncn 10318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
52, 3, 43syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
6 2cnd 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7 nncn 10318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
86, 7mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
98sqrcld 12907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
10 ere 13357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
1110recni 9386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
13 epos 13472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
1410, 13gt0ne0ii 9864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
167, 12, 15divcld 10095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
1716, 2expcld 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
189, 17mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
19 2rp 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
21 nnrp 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
2220, 21rpmulcld 11031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
2322sqrgt0d 12883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
2423gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
25 nnne0 10342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
267, 12, 25, 15divne0d 10111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
27 nnz 10656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
2816, 26, 27expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
299, 17, 24, 28mulne0d 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
305, 18, 29divcld 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
31 stirlinglem3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
3231fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
3330, 32mpdan 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
3433oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 ) )
35 stirlinglem3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
3635fvmpt2 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( E `  n
)  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
3718, 36mpdan 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  n )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
3837oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )
3934, 38oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
40 4nn0 10586 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
425, 18, 29, 41expdivd 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
4342oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) ) )
445, 41expcld 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
4518, 41expcld 11992 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
4641nn0zd 10733 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  ZZ )
4718, 29, 46expne0d 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =/=  0 )
4844, 45, 47divcan1d 10096 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n ) ^
4 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )
4939, 43, 483eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )
5049eqcomd 2438 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
5150oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) ) )
52 2nn0 10584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
5453, 2nn0mulcld 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
55 faccl 12045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  e.  NN )
56 nncn 10318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
5754, 55, 563syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
5857sqcld 11990 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
596, 8mulcld 9394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6059sqrcld 12907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  e.  CC )
618, 12, 15divcld 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  e.  CC )
6261, 54expcld 11992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6360, 62mulcld 9394 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
6463sqcld 11990 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6520, 22rpmulcld 11031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
6665sqrgt0d 12883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
6766gt0ne0d 9892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =/=  0 )
6820rpne0d 11020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
696, 7, 68, 25mulne0d 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
708, 12, 69, 15divne0d 10111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  =/=  0 )
71 2z 10666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
7372, 27zmulcld 10741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
7461, 70, 73expne0d 11998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
7560, 62, 67, 74mulne0d 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  =/=  0 )
7663, 75, 72expne0d 11998 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
7758, 64, 76divcan1d 10096 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
7857, 63, 75, 53expdivd 12006 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
7978eqcomd 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
8079oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
8177, 80eqtr3d 2467 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
83 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  m ) )
8483fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  m ) ) )
85 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
n  /  _e )  =  ( m  /  _e ) )
86 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
8785, 86oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )
8884, 87oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
8982, 88oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
9089cbvmptv 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
9131, 90eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m )  /  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) ) )
93 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( 2  x.  n
) ) )
94 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
9594fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
96 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
m  /  _e )  =  ( ( 2  x.  n )  /  _e ) )
97 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  m  =  ( 2  x.  n ) )
9896, 97oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( m  /  _e ) ^ m )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )
9995, 98oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
10093, 99oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
101100adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
102 2nn 10467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
104 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
105103, 104nnmulcld 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
10657, 63, 75divcld 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  e.  CC )
10792, 101, 105, 106fvmptd 5767 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
108107oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
109108eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
110109oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
111 eqidd 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
11299adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
113111, 112, 105, 63fvmptd 5767 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
114113oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
115114eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
116115oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
11781, 110, 1163eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
11888cbvmptv 4371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
120119fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
121120eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
122121oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
123122oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
124107, 106eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
125 stirlinglem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
126125fvmpt2 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
127124, 126mpdan 661 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
128127eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( D `  n
) )
129128oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
13035a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
131130fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
132131eqcomd 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( E `  ( 2  x.  n
) ) )
133132oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
134129, 133oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
135117, 123, 1343eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
13651, 135oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
137136oveq1d 6095 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
138137mpteq2ia 4362 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13941, 2nn0mulcld 10629 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  NN0 )
1406, 139expcld 11992 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
14149, 44eqeltrd 2507 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  e.  CC )
142140, 141mulcomd 9395 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
143142oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
144143oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
145127, 124eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
146145sqcld 11990 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
147130, 119eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
148147, 112, 105, 63fvmptd 5767 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
149148, 63eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
150149sqcld 11990 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
151 nnne0 10342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
15254, 55, 1513syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
15357, 63, 152, 75divne0d 10111 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  =/=  0 )
154107, 153eqnetrd 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
155127, 154eqnetrd 2616 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
156145, 155, 72expne0d 11998 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
157148, 75eqnetrd 2616 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
158149, 157, 72expne0d 11998 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
159141, 146, 140, 150, 156, 158divmuldivd 10136 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
160159eqcomd 2438 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
161160oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
16233, 30eqeltrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
163162, 41expcld 11992 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
16438, 45eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
165163, 164, 146, 156div23d 10132 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
166165oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
167166oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
168163, 146, 156divcld 10095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
169140, 150, 158divcld 10095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
170168, 164, 169mulassd 9397 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
171170oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
172164, 169mulcld 9394 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
173 ax-1cn 9328 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
174173a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1758, 174addcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
176 0re 9374 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
177176a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
178105nnred 10325 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
179 2re 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
180179a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
181 nnre 10317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
182180, 181remulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
183 1re 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
184183a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
185182, 184readdcld 9401 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
186105nngt0d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
187178ltp1d 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
188177, 178, 185, 186, 187lttrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
189188gt0ne0d 9892 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
190168, 172, 175, 189divassd 10130 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
191164, 140, 150, 158div12d 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
1929, 17, 41mulexpd 12007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) ) )
19360, 62sqmuld 12004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
194192, 193oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
195148oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )
19638, 195oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
1979, 41expcld 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
19860sqcld 11990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19917, 41expcld 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  e.  CC )
20062sqcld 11990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
20160, 67, 72expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
20262, 74, 72expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
203197, 198, 199, 200, 201, 202divmuldivd 10136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
204194, 196, 2033eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
205204oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `  n
) ^ 4 )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 4 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  / 
( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) ) ) )
20665rprege0d 11022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
207 resqrth 12729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
208206, 207syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
209208oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
210 2t2e4 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
211210eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
213212oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ (
2  x.  2 ) ) )
2149, 53, 53expmuld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^
2 ) )
21522rprege0d 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) ) )
216 resqrth 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
217215, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
218217oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^ 2 ) )
219213, 214, 2183eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^
2 ) )
2206, 6, 7mulassd 9397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
221210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
222221oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 4  x.  n ) )
223220, 222eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 4  x.  n ) )
224219, 223oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
2 )  /  (
4  x.  n ) ) )
2256, 7sqmuld 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
226 sq2 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
228227oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
229225, 228eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
230229oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
231 4cn 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
232 4ne0 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =/=  0
233231, 232dividi 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  /  4 )  =  1
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  /  4 )  =  1 )
2357sqvald 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
236235oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  ( ( n  x.  n )  /  n ) )
2377, 7, 25divcan4d 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  n
)  /  n )  =  n )
238236, 237eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
239234, 238oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 1  x.  n ) )
24041nn0cnd 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  CC )
2417sqcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
242232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
243240, 240, 241, 7, 242, 25divmuldivd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
2447mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  n )  =  n )
245239, 243, 2443eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
246230, 245eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
247209, 224, 2463eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  n )
2487, 240mulcomd 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  4 )  =  ( 4  x.  n ) )
249248oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
25016, 41, 2expmuld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 ) )
2517, 12, 15, 139expdivd 12006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
252249, 250, 2513eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
2536, 7, 6mul32d 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  n ) )
254253, 222eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( 4  x.  n ) )
255254oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
25661, 53, 54expmuld 11995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
2578, 12, 15, 139expdivd 12006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
258255, 256, 2573eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
259252, 258oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
260252, 199eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
2618, 139expcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
26212, 139expcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
26346, 27zmulcld 10741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  ZZ )
2648, 69, 263expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
26512, 15, 263expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
266260, 261, 262, 264, 265divdiv2d 10127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2677, 139expcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
268267, 262, 265divcan1d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( n ^
( 4  x.  n
) ) )
269268oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2706, 7, 139mulexpd 12007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^ (
4  x.  n ) ) ) )
271270oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
272140, 267mulcomd 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
273272oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
2747, 25, 263expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
2756, 68, 263expne0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
276267, 267, 140, 274, 275divdiv1d 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
277267, 274dividd 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  1 )
278277oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
279273, 276, 2783eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
280269, 271, 2793eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
281259, 266, 2803eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
282247, 281oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )
283282oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
284140, 275reccld 10088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
285140, 7, 284mul12d 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
2867mulid1d 9391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
287140, 275recidd 10090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) ) )  =  1 )
288287oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  1 ) )
289286, 288, 2383eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
290283, 285, 2893eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
291191, 205, 2903eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
292291oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  /  n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
293241, 7, 175, 25, 189divdiv1d 10126 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  /  n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
294292, 293eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
295294oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
296190, 295eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
297167, 171, 2963eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
298144, 161, 2973eqtrd 2469 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
299298mpteq2ia 4362 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
3001, 138, 2993eqtri 2457 1  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   4c4 10361   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   RR+crp 10979   ^cexp 11849   !cfa 12035   sqrcsqr 12706   _eceu 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  29729
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