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Theorem stirlinglem3 37758
Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that  V, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of  A, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the  A, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem3.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem3.2  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem3.3  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem3.4  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem3  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem stirlinglem3
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem3.4 . 2  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
2 nnnn0 10877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
3 faccl 12469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
4 nncn 10618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ! `  n )  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
52, 3, 43syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
6 2cnd 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7 nncn 10618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
86, 7mulcld 9664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
98sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
10 ere 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  _e  e.  RR
1110recni 9656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
13 epos 14247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  _e
1410, 13gt0ne0ii 10151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  _e  =/=  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
167, 12, 15divcld 10384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
1716, 2expcld 12416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
189, 17mulcld 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
19 2rp 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
21 nnrp 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
2220, 21rpmulcld 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
2322sqrtgt0d 13463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
2423gt0ne0d 10179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
25 nnne0 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
267, 12, 25, 15divne0d 10400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
27 nnz 10960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
2816, 26, 27expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
299, 17, 24, 28mulne0d 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
305, 18, 29divcld 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
31 stirlinglem3.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
3231fvmpt2 5970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
3330, 32mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
3433oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 ) )
35 stirlinglem3.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
3635fvmpt2 5970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( E `  n
)  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
3718, 36mpdan 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  n )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )
3837oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )
3934, 38oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
40 4nn0 10889 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
4140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
425, 18, 29, 41expdivd 12430 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) ) )
4342oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ( ( ! `  n ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) ) )
445, 41expcld 12416 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
4518, 41expcld 12416 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
4641nn0zd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  ZZ )
4718, 29, 46expne0d 12422 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =/=  0 )
4844, 45, 47divcan1d 10385 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 n ) ^
4 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ^
4 ) )  =  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )
4939, 43, 483eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )
5049eqcomd 2430 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
) ^ 4 )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
5150oveq2d 6318 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) ) )
52 2nn0 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
5453, 2nn0mulcld 10931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
55 faccl 12469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  e.  NN )
56 nncn 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
5857sqcld 12414 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
596, 8mulcld 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6059sqrtcld 13487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  e.  CC )
618, 12, 15divcld 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  e.  CC )
6261, 54expcld 12416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6360, 62mulcld 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  e.  CC )
6463sqcld 12414 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
6520, 22rpmulcld 11358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
6665sqrtgt0d 13463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
6766gt0ne0d 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =/=  0 )
6820rpne0d 11347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
696, 7, 68, 25mulne0d 10265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  =/=  0 )
708, 12, 69, 15divne0d 10400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  _e )  =/=  0 )
71 2z 10970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
7372, 27zmulcld 11047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
7461, 70, 73expne0d 12422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
7560, 62, 67, 74mulne0d 10265 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )  =/=  0 )
7663, 75, 72expne0d 12422 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
7758, 64, 76divcan1d 10385 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
7857, 63, 75, 53expdivd 12430 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
7978eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
8079oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) ) )
8177, 80eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
83 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  m ) )
8483fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  m ) ) )
85 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
n  /  _e )  =  ( m  /  _e ) )
86 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
8785, 86oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )
8884, 87oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
8982, 88oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
9089cbvmptv 4513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
9131, 90eqtri 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `  m )  /  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  A  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) ) )
93 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( 2  x.  n
) ) )
94 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
2  x.  m )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
9594fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) )
96 oveq1 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
m  /  _e )  =  ( ( 2  x.  n )  /  _e ) )
97 id 23 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  m  =  ( 2  x.  n ) )
9896, 97oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( m  /  _e ) ^ m )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) )
9995, 98oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
10093, 99oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( 2  x.  n )  ->  (
( ! `  m
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
101100adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( ! `
 m )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
102 2nn 10768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
104 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
105103, 104nnmulcld 10658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
10657, 63, 75divcld 10384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  e.  CC )
10792, 101, 105, 106fvmptd 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) )
108107oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 ) )
109108eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
110109oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( A `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 )  x.  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
111 eqidd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
11299adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  =  ( 2  x.  n ) )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
113111, 112, 105, 63fvmptd 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
114113oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )
115114eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
116115oveq2d 6318 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
11781, 110, 1163eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
11888cbvmptv 4513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) )
120119fveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^
m ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
121120eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) )
122121oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )
123122oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  m ) )  x.  ( ( m  /  _e ) ^ m ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
124107, 106eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
125 stirlinglem3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
126125fvmpt2 5970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )  -> 
( D `  n
)  =  ( A `
 ( 2  x.  n ) ) )
127124, 126mpdan 672 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
128127eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =  ( D `  n
) )
129128oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
13035a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
131130fveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) )
132131eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) )  =  ( E `  ( 2  x.  n
) ) )
133132oveq1d 6317 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
134129, 133oveq12d 6320 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
135117, 123, 1343eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )
13651, 135oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
137136oveq1d 6317 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
138137mpteq2ia 4503 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
13941, 2nn0mulcld 10931 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  NN0 )
1406, 139expcld 12416 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
14149, 44eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  e.  CC )
142140, 141mulcomd 9665 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
143142oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
144143oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
145127, 124eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
146145sqcld 12414 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
147130, 119eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  E  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( sqr `  ( 2  x.  m
) )  x.  (
( m  /  _e ) ^ m ) ) ) )
148147, 112, 105, 63fvmptd 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
149148, 63eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
150149sqcld 12414 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
151 nnne0 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
15254, 55, 1513syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
15357, 63, 152, 75divne0d 10400 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  n ) )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) )  =/=  0 )
154107, 153eqnetrd 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
155127, 154eqnetrd 2717 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
156145, 155, 72expne0d 12422 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
157148, 75eqnetrd 2717 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( E `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
158149, 157, 72expne0d 12422 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
159141, 146, 140, 150, 156, 158divmuldivd 10425 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( ( D `
 n ) ^
2 )  x.  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
160159eqcomd 2430 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
161160oveq1d 6317 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
16233, 30eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
163162, 41expcld 12416 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
16438, 45eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
165163, 164, 146, 156div23d 10421 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )
166165oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
167166oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( E `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
168163, 146, 156divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
169140, 150, 158divcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
170168, 164, 169mulassd 9667 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
171170oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
172164, 169mulcld 9664 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC )
173 1cnd 9660 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1748, 173addcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
175 0red 9645 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
176105nnred 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
177 2re 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
178177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
179 nnre 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
180178, 179remulcld 9672 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
181 1red 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
182180, 181readdcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
183105nngt0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
184176ltp1d 10538 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
185175, 176, 182, 183, 184lttrd 9797 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
186185gt0ne0d 10179 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
187168, 172, 174, 186divassd 10419 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
188164, 140, 150, 158div12d 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `
 n ) ^
4 )  /  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) ) )
1899, 17, 41mulexpd 12431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) ) )
19060, 62sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )
191189, 190oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
192148oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( E `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ) ^
2 ) )
19338, 192oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
1949, 41expcld 12416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  e.  CC )
19560sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19617, 41expcld 12416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  e.  CC )
19762sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19860, 67, 72expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
19962, 74, 72expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
200194, 195, 196, 197, 198, 199divmuldivd 10425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  x.  ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 ) )  / 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
201191, 193, 2003eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )
202201oveq2d 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( E `  n
) ^ 4 )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 4 )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  / 
( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) ) ) ) )
20365rprege0d 11349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
204 resqrtth 13308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  (
2  x.  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
206205oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) ) )
207 2t2e4 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
208207eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  =  ( 2  x.  2 )
209208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =  ( 2  x.  2 ) )
210209oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ (
2  x.  2 ) ) )
2119, 53, 53expmuld 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^
2 ) )
21222rprege0d 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) ) )
213 resqrtth 13308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  n ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  n ) )
215214oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 2 ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^ 2 ) )
216210, 211, 2153eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  n ) ^
2 ) )
2176, 6, 7mulassd 9667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )
218207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
219218oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  n )  =  ( 4  x.  n ) )
220217, 219eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 4  x.  n ) )
221216, 220oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( 2  x.  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
2 )  /  (
4  x.  n ) ) )
2226, 7sqmuld 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) ) )
223 sq2 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
225224oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
226222, 225eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( n ^ 2 ) ) )
227226oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
228 4cn 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
229 4ne0 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  =/=  0
230228, 229dividi 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  /  4 )  =  1
231230a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  /  4 )  =  1 )
2327sqvald 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
233232oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  ( ( n  x.  n )  /  n ) )
2347, 7, 25divcan4d 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  n
)  /  n )  =  n )
235233, 234eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
236231, 235oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 1  x.  n ) )
23741nn0cnd 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  CC )
2387sqcld 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
239229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
240237, 237, 238, 7, 239, 25divmuldivd 10425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  /  4
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( ( 4  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 4  x.  n
) ) )
2417mulid2d 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  n )  =  n )
242236, 240, 2413eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4  x.  (
n ^ 2 ) )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
243227, 242eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n ) ^ 2 )  /  ( 4  x.  n ) )  =  n )
244206, 221, 2433eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  =  n )
2457, 237mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  4 )  =  ( 4  x.  n ) )
246245oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
24716, 41, 2expmuld 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( n  x.  4 ) )  =  ( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 ) )
2487, 12, 15, 139expdivd 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
249246, 247, 2483eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  /  _e ) ^ n ) ^ 4 )  =  ( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
2506, 7, 6mul32d 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( ( 2  x.  2 )  x.  n ) )
251250, 219eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  x.  2 )  =  ( 4  x.  n ) )
252251oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) ) )
25361, 53, 54expmuld 12419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( ( 2  x.  n )  x.  2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^
( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )
2548, 12, 15, 139expdivd 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
255252, 253, 2543eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  n ) ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
256249, 255oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  /  (
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
257249, 196eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
2588, 139expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
25912, 139expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
26046, 27zmulcld 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4  x.  n )  e.  ZZ )
2618, 69, 260expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
26212, 15, 260expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
_e ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
263257, 258, 259, 261, 262divdiv2d 10416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e ^
( 4  x.  n
) ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2647, 139expcld 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  e.  CC )
265264, 259, 262divcan1d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  x.  ( _e
^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( n ^
( 4  x.  n
) ) )
266265oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2  x.  n ) ^ (
4  x.  n ) ) ) )
2676, 7, 139mulexpd 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
) ^ ( 4  x.  n ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^ (
4  x.  n ) ) ) )
268267oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
269140, 264mulcomd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
270269oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
2717, 25, 260expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
2726, 68, 260expne0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  n ) )  =/=  0 )
273264, 264, 140, 271, 272divdiv1d 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  x.  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) )
274264, 271dividd 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( n ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  1 )
275274oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
( 4  x.  n
) )  /  (
n ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
276270, 273, 2753eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n ^
( 4  x.  n
) ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
277266, 268, 2763eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ ( 4  x.  n ) )  / 
( _e ^ (
4  x.  n ) ) )  x.  (
_e ^ ( 4  x.  n ) ) )  /  ( ( 2  x.  n ) ^ ( 4  x.  n ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) )
278256, 263, 2773eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) )
279244, 278oveq12d 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  ( 2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( n  /  _e ) ^ n ) ^
4 )  /  (
( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )
280279oveq2d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  /  (
2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
281140, 272reccld 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) )  e.  CC )
282140, 7, 281mul12d 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( n  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n ) ) ) ) ) )
2837mulid1d 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
284140, 272recidd 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( 1  /  ( 2 ^ ( 4  x.  n
) ) ) )  =  1 )
285284oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( n  x.  1 ) )
286283, 285, 2353eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( 1  / 
( 2 ^ (
4  x.  n ) ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
287280, 282, 2863eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  x.  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ^ 4 )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  (
2  x.  n ) ) ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( ( n  /  _e ) ^
n ) ^ 4 )  /  ( ( ( ( 2  x.  n )  /  _e ) ^ ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
288188, 202, 2873eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
289288oveq1d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  /  n )  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
290238, 7, 174, 25, 186divdiv1d 10415 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  /  n
)  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
291289, 290eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( E `
 n ) ^
4 )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
292291oveq2d 6318 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
293187, 292eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( E `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  /  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
294167, 171, 2933eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  x.  ( ( E `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( 2 ^ (
4  x.  n ) )  /  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
295144, 161, 2943eqtrd 2467 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  x.  (
( E `  n
) ^ 4 ) ) )  /  (
( ( D `  n ) ^ 2 )  x.  ( ( E `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
296295mpteq2ia 4503 . 2  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  x.  ( ( E `  n ) ^ 4 ) ) )  /  ( ( ( D `  n
) ^ 2 )  x.  ( ( E `
 ( 2  x.  n ) ) ^
2 ) ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
2971, 138, 2963eqtri 2455 1  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    <_ cle 9677    / cdiv 10270   NNcn 10610   2c2 10660   4c4 10662   NN0cn0 10870   ZZcz 10938   RR+crp 11303   ^cexp 12272   !cfa 12459   sqrcsqrt 13285   _eceu 14103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-ico 11642  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13119  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-limsup 13514  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-ef 14109  df-e 14110
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  37770
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