Theorem nnmulcld 10945

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 10920	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   · cmul 9820  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  bcm1k  12964  bcp1n  12965  permnn  12975  trireciplem  14433  efaddlem  14662  eftlub  14678  eirrlem  14771  modmulconst  14851  isprm5  15257  crth  15321  phimullem  15322  pcqmul  15396  pcaddlem  15430  pcbc  15442  oddprmdvds  15445  pockthlem  15447  pockthg  15448  vdwlem3  15525  vdwlem6  15528  vdwlem9  15531  torsubg  18080  ablfacrp  18288  dgrcolem1  23833  aalioulem5  23895  aaliou3lem2  23902  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem2  24474  log2ub  24476  lgamgulmlem4  24558  wilthlem2  24595  ftalem7  24605  basellem5  24611  mumul  24707  fsumfldivdiaglem  24715  dvdsmulf1o  24720  sgmmul  24726  chtublem  24736  bcmono  24802  bposlem3  24811  bposlem5  24813  gausslemma2dlem1a  24890  lgsquadlem2  24906  lgsquadlem3  24907  lgsquad2lem2  24910  2sqlem6  24948  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  dchrisum0fmul  24995  vmalogdivsum2  25027  pntrsumbnd2  25056  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  ostth2lem2  25123  2sqmod  28979  oddpwdc  29743  eulerpartlemgh  29767  subfaclim  30424  bcprod  30877  faclim2  30887  jm2.27c  36592  relexpmulnn  37020  mccllem  38664  wallispilem5  38962  wallispi2lem1  38964  wallispi2  38966  stirlinglem3  38969  stirlinglem8  38974  stirlinglem15  38981  dirkertrigeqlem3  38993  hoicvrrex  39446  deccarry  39941  fmtnoprmfac2  40017  sfprmdvdsmersenne  40058  lighneallem3  40062  proththdlem  40068  blennnt2  42181