Theorem bcmono 24802

Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmono	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Proof of Theorem bcmono

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1058	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simpl1 1057	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		eluzel2 11568	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1076	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5	4	anim1i 590	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		elnn0z 11267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐴))
7	5, 6	sylibr 223	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8		simpl3 1059	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ (𝑁 / 2))
9		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐴 ≤ (𝑁 / 2)))
10		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐴))
11	10	breq2d 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
12	9, 11	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
13	12	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))))
14		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
15		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝑘))
16	15	breq2d 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))
17	14, 16	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
18	17	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)))))
19		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
20		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁C𝑥) = (𝑁C(𝑘 + 1)))
21	20	breq2d 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
22	19, 21	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
23	22	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
24		breq1 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)))
25		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑁C𝑥) = (𝑁C𝐵))
26	25	breq2d 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥) ↔ (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))
27	24, 26	imbi12d 333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥)) ↔ (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
28	27	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑥 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑥))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵)))))
29		bccl 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 11229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
31	30	leidd 10473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))
32	31	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴)))
33	32	expcom 450	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
34	33	adantrd 483	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐴 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐴))))
35		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
36	35	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
37	36	zred 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	37	lep1d 10834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
39		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
41		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
42	41	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
44		letr 10010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
45	37, 40, 43, 44	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
46	38, 45	mpand 707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → 𝑘 ≤ (𝑁 / 2)))
47	46	imim1d 80	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))))
48		eluznn0 11633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
49		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
50	49	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℝ)
51		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
52	51	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
54	53	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
55	50, 54	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
56	54, 54	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
57	41	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℝ)
58	50	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
59	50, 54, 54, 58	leadd1dd 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + (𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)))
60	52	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	2timesd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)))
62		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2))
63		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
64		2pos 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
65	63, 64	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
67		lemuldiv2 10783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
68	54, 57, 66, 67	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)))
69	62, 68	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (2 · (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
70	61, 69	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
71	55, 56, 57, 59, 70	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁)
72	50, 54, 57	leaddsub2d 10508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + (𝑘 + 1)) ≤ 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
73	71, 72	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘))
74		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
75		nngt0 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
76	74, 75	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
77	52, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)))
78		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
79	78	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℤ)
80		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82	79, 81	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
83	57	rehalfcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
84	57, 63	jctir 559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
85		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
86	85	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑁)
87		1le2 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ≤ 2
88	86, 87	jctir 559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2))
89		lemulge12 10765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 1 ≤ 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
90	84, 88, 89	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
91		ledivmul 10778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
92	57, 57, 66, 91	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 / 2) ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
93	90, 92	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
94	54, 83, 57, 62, 93	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
95		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
96	50, 95, 57	leaddsub2d 10508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
97	94, 96	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ≤ (𝑁 − 𝑘))
98		elnnz1 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑁 − 𝑘)))
99	82, 97, 98	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ)
100		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
101		nngt0 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 𝑘))
102	100, 101	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
104		faccl 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
105	104	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
106		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0)
107		faccl 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
108	99, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
109		faccl 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
110	109	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
111	108, 110	nnmulcld 10945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
112		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
113		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
114		rpdivcl 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℝ+ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
115	112, 113, 114	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
116	105, 111, 115	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ+)
117	116	rpregt0d 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)))))
118		lediv2 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1)) ∧ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 𝑘)) ∧ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))))) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
119	77, 103, 117, 118	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 − 𝑘) ↔ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1))))
120	73, 119	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) ≤ (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
121		facnn2 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
122	99, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)))
123	122	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
124	108	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
125	110	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
126	82	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℂ)
127	124, 125, 126	mul32d 10125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
128	123, 127	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘)))
129	128	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
130		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
131	130	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ 𝑘)
132	50, 54, 57, 58, 94	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
133		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ∈ ℤ)
134		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
135	81, 133, 79, 134	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
136	131, 132, 135	mpbir2and 959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
137		bcval2 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
139	105	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
140	111	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
141	111	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) ≠ 0)
142	99	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − 𝑘) ≠ 0)
143	139, 140, 126, 141, 142	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑁 − 𝑘))))
144	129, 138, 143	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑁 − 𝑘)))
145		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
146	145	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑁 ∈ ℂ)
147		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
148	147	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 𝑘 ∈ ℂ)
149		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 1 ∈ ℂ)
150	146, 148, 149	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
151	150	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁 − (𝑘 + 1)) = ((𝑁 − 𝑘) − 1))
152	151	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) = (!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)))
153		facp1 12927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
154	153	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
155	152, 154	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
156	124, 125, 60	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)) = ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
157	155, 156	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1))) = (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1)))
158	157	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
159	53	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
160	52	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
161		elfz 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
162	160, 133, 79, 161	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
163	159, 94, 162	mpbir2and 959	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
164		bcval2 12954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑘 + 1))) · (!‘(𝑘 + 1)))))
166	52	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
167	139, 140, 60, 141, 166	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)) = ((!‘𝑁) / (((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘)) · (𝑘 + 1))))
168	158, 165, 167	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C(𝑘 + 1)) = (((!‘𝑁) / ((!‘((𝑁 − 𝑘) − 1)) · (!‘𝑘))) / (𝑘 + 1)))
169	120, 144, 168	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))
170	169	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
171	48, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
172	171	3impia 1253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
173	172	3coml 1264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
174		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
175		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
176	175	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
177	174, 176, 29	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℕ0)
178	177	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝐴) ∈ ℝ)
179		bccl 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
180	174, 36, 179	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
181	180	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C𝑘) ∈ ℝ)
182	36	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
183		bccl 12971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
184	174, 182, 183	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
185	184	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
186		letr 10010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁C𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁C𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁C(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
187	178, 181, 185, 186	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) ∧ (𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))
188	187	expcomd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑁C𝑘) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
189	173, 188	syld 46	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → ((𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
190	189	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
191	47, 190	syld 46	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1)))))
192	191	3expib 1260	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘)) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
193	192	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝑘))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C(𝑘 + 1))))))
194	13, 18, 23, 28, 34, 193	uzind4 11622	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ≤ (𝑁 / 2) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))))
195	194	3imp 1249	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
196	1, 2, 7, 8, 195	syl121anc 1323	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
197		simpl1 1057	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
198	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
199		orc 399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 0 → (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴))
200	199	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴))
201		bcval4 12956	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐴)) → (𝑁C𝐴) = 0)
202	197, 198, 200, 201	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) = 0)
203		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
204		eluzelz 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
205	203, 204	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
206		bccl 12971	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
207	197, 205, 206	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐵) ∈ ℕ0)
208	207	nn0ge0d 11231	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ (𝑁C𝐵))
209	202, 208	eqbrtrd 4605	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))
210		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
211	4	zred 11358	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
212		lelttric 10023	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
213	210, 211, 212	sylancr 694	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (0 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
214	196, 209, 213	mpjaodan 823	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ≤ (𝑁 / 2)) → (𝑁C𝐴) ≤ (𝑁C𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197  !cfa 12922  Ccbc 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952

This theorem is referenced by:  bcmax  24803