Theorem leidd 10473

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 10012	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  zextle  11326  uzind  11345  uzid  11578  ifle  11902  supxrre  12029  infxrre  12038  nn0fz0  12306  fvinim0ffz  12449  flid  12471  modabs2  12566  monoord  12693  leexp2r  12780  facwordi  12938  faclbnd6  12948  2swrdeqwrdeq  13305  swrdccatid  13348  repswcshw  13409  iseraltlem2  14261  climcndslem1  14420  cvgrat  14454  eirrlem  14771  ruclem2  14800  ruclem9  14806  sadcaddlem  15017  nn0seqcvgd  15121  eulerthlem2  15325  pcidlem  15414  pc2dvds  15421  pcprmpw2  15424  pcmpt  15434  ramub1lem2  15569  prmolefac  15588  prmgaplem4  15596  pgpfi  17843  psrridm  19225  zntoslem  19724  methaus  22135  nmoid  22356  xrsxmet  22420  reconnlem1  22437  metdstri  22462  nmoleub3  22727  ovolctb  23065  ovolicc1  23091  volcn  23180  mbflimsup  23239  mbfi1fseqlem4  23291  itg2const2  23314  itg2uba  23316  itg2splitlem  23321  itg2cnlem1  23334  itg2cnlem2  23335  iblss  23377  itgless  23389  itgsplitioo  23410  dvge0  23573  dvcvx  23587  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem3  23595  dvfsumrlim  23598  coe1mul4  23664  deg1mul2  23678  ply1divex  23700  deg1submon1p  23716  coe1termlem  23818  dgradd2  23828  dgrco  23835  aaliou3lem2  23902  abelth2  24000  jensen  24515  logexprlim  24750  bcmono  24802  bcmax  24803  dchrisum0flblem1  24997  pntleml  25100  wlkonwlk  26065  cyclnspth  26159  eupath2  26507  blocnilem  27043  fiunelros  29564  dstfrvunirn  29863  ballotlemsi  29903  dnibndlem2  31639  knoppndvlem15  31687  relowlssretop  32387  poimirlem28  32607  mblfinlem2  32617  itg2addnclem  32631  itg2gt0cn  32635  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  ssbnd  32757  bfplem1  32791  acongeq  36568  expdiophlem1  36606  hbt  36719  dvgrat  37533  ssinc  38292  ssdec  38293  fmul01  38647  fmul01lt1lem1  38651  limciccioolb  38688  ioccncflimc  38771  icocncflimc  38775  cncfiooicclem1  38779  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem20  38913  stoweidlem51  38944  wallispilem3  38960  fourierdlem10  39010  fourierdlem11  39011  fourierdlem14  39014  fourierdlem17  39017  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem41  39041  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem73  39072  fourierdlem76  39075  fourierdlem79  39078  fourierdlem93  39092  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem111  39110  fourierdlem114  39113  etransclem23  39150  rrxsnicc  39196  hsphoidmvle2  39475  hsphoidmvle  39476  hoidmv1lelem1  39481  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmvlelem1  39485  hoidifhspdmvle  39510  ovolval4lem2  39540  iinhoiicc  39565  vonicclem2  39575  bgoldbachlt  40227  bgoldbachltOLD  40234  pfxsuffeqwrdeq  40269  2leaddle2  40344  eupth2  41407  logbpw2m1  42159  fllog2  42160  dignn0ldlem  42194