Theorem nn0ge0 11195

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11171	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 10926	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 537	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11178	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10003	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 694	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 246	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11196  nn0ge0i  11197  nn0le0eq0  11198  nn0p1gt0  11199  0mnnnnn0  11202  nn0addge1  11216  nn0addge2  11217  nn0negleid  11222  nn0ge0d  11231  nn0ge0div  11322  xnn0ge0  11843  nn0pnfge0OLD  11844  xnn0xadd0  11949  nn0rp0  12150  xnn0xrge0  12196  0elfz  12305  fz0fzelfz0  12314  fz0fzdiffz0  12317  fzctr  12320  difelfzle  12321  nn0p1elfzo  12378  elfzodifsumelfzo  12401  fvinim0ffz  12449  subfzo0  12452  adddivflid  12481  modmuladdnn0  12576  addmodid  12580  modifeq2int  12594  modfzo0difsn  12604  bernneq  12852  bernneq3  12854  faclbnd  12939  faclbnd6  12948  facubnd  12949  bcval5  12967  hashneq0  13016  fi1uzind  13134  brfi1indALT  13137  fi1uzindOLD  13140  brfi1indALTOLD  13143  ccat2s1fvw  13267  repswswrd  13382  rprisefaccl  14593  dvdseq  14874  evennn02n  14912  nn0ehalf  14933  nn0oddm1d2  14939  bitsinv1  15002  smuval2  15042  gcdn0gt0  15077  nn0gcdid0  15080  absmulgcd  15104  algcvgblem  15128  algcvga  15130  lcmgcdnn  15162  lcmfun  15196  lcmfass  15197  nonsq  15305  hashgcdlem  15331  odzdvds  15338  pcfaclem  15440  coe1sclmul  19473  coe1sclmul2  19475  prmirredlem  19660  prmirred  19662  fvmptnn04ifb  20475  mdegle0  23641  plypf1  23772  dgrlt  23826  fta1  23867  taylfval  23917  eldmgm  24548  basellem3  24609  bcmono  24802  lgsdinn0  24870  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  wlkonwlk  26065  nvnencycllem  26171  wwlkextwrd  26256  wwlkextfun  26257  wwlkextinj  26258  wwlkextproplem1  26269  wwlkextproplem2  26270  wwlkextproplem3  26271  nn0sqeq1  28901  xrsmulgzz  29009  hashf2  29473  hasheuni  29474  faclimlem1  30882  rrntotbnd  32805  pell14qrgt0  36441  pell1qrgaplem  36455  monotoddzzfi  36525  jm2.17a  36545  jm2.22  36580  rmxdiophlem  36600  wallispilem3  38960  stirlinglem7  38973  iccpartigtl  39961  sqrtpwpw2p  39988  flsqrt  40046  nn0e  40146  elfz2z  40352  fz0addge0  40356  elfzlble  40357  2ffzoeq  40361  wwlksnextwrd  41103  wwlksnextfun  41104  wwlksnextinj  41105  wwlksnextproplem2  41116  wwlksnextproplem3  41117  nn0sumltlt  41921  nn0eo  42116  fllog2  42160  dignn0fr  42193  dignnld  42195  dig1  42200