Theorem peano2zd 11361

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 11295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  fznatpl1  12265  elfzom1elp1fzo1  12434  flge  12468  2tnp1ge0ge0  12492  uzsup  12524  seqf1olem1  12702  bcp1nk  12966  bcval5  12967  cshimadifsn0  13427  rexuzre  13940  limsupgre  14060  rlimclim1  14124  iseraltlem2  14261  telfsumo  14375  fsumparts  14379  climcnds  14422  geo2sum  14443  clim2prod  14459  clim2div  14460  fprodntriv  14511  dvdsfac  14886  2tp1odd  14914  opoe  14925  bits0o  14990  bitsp1o  14993  bitsinv1lem  15001  smupvallem  15043  smueqlem  15050  hashdvds  15318  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  vdwnnlem3  15539  prmgaplem7  15599  prmgaplem8  15600  sylow1lem1  17836  telgsumfzs  18209  srgbinomlem3  18365  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmul0  20486  ovoliunlem2  23078  ovolicc2lem4  23095  uniioombllem3  23159  dyaddisjlem  23169  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem3  23595  plyco0  23752  abelthlem6  23994  birthdaylem2  24479  wilthlem1  24594  wilth  24597  wilthimp  24598  basellem3  24609  chpp1  24681  perfect  24756  bcmono  24802  lgslem1  24822  lgsval2lem  24832  gausslemma2dlem5  24896  lgseisenlem1  24900  lgsquadlem1  24905  m1lgs  24913  2lgslem1a  24916  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  2lgslem3b1  24926  2lgslem3c1  24927  2sqblem  24956  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlema  24977  dchrisumlem2  24979  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  axlowdimlem16  25637  wwlkextproplem1  26269  clwwlkf  26322  eupath2lem3  26506  isarchi3  29072  archirngz  29074  archiabllem1a  29076  archiabllem2c  29080  submateqlem1  29201  ballotlemsf1o  29902  ballotlemsima  29904  signstfvn  29972  dnizphlfeqhlf  31636  dnibndlem13  31650  knoppndvlem10  31682  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  ltflcei  32567  poimirlem2  32581  poimirlem10  32589  poimirlem15  32594  poimirlem19  32598  poimirlem23  32602  poimirlem28  32607  fdc  32711  incsequz  32714  cntotbnd  32765  lzunuz  36349  lzenom  36351  ltrmxnn0  36534  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm2.24  36548  rmygeid  36549  jm2.25  36584  jm2.27a  36590  jm3.1lem1  36602  expdiophlem1  36606  monoords  38452  fmul01lt1lem1  38651  climsuselem1  38674  sumnnodd  38697  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem26  38919  wallispilem4  38961  stirlinglem4  38970  stirlinglem8  38974  stirlinglem11  38977  stirlinglem13  38979  dirkertrigeqlem1  38991  dirkercncflem2  38997  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem41  39041  fourierdlem50  39049  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem79  39078  caratheodorylem1  39416  iccpartgtprec  39958  iccpartiltu  39960  iccpartgt  39965  iccpartnel  39976  fmtnodvds  39994  fmtnoprmfac2lem1  40016  evenp1odd  40091  oddp1eveni  40092  opoeALTV  40132  perfectALTV  40166  crctcsh1wlkn0lem3  41015  crctcsh1wlkn0lem6  41018  clwwlksf  41222  eucrct2eupth  41413  fllogbd  42152  nnpw2blen  42172  dignn0flhalflem2  42208  nn0sumshdiglemA  42211  aacllem  42356