Theorem submateqlem1 29201

Description: Lemma for submateq 29203. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateqlem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
2		fz1ssnn 12243	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3		submateqlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 10912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		submateqlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnred 10912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		1red 9934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 10337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		elfzle2 12216	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
12	7	lem1d 10836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
13	5, 9, 7, 11, 12	letrd 10073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
14	1, 13	jca 553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	4	nnzd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		fz1ssnn 12243	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
17		submateqlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
18	16, 17	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	nnzd 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		elfz 12203	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	14, 22	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
24	4	nnnn0d 11228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26		1re 9918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		addge02 10418	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	26, 5, 27	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
29	25, 28	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
30	6	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
31		nn0ltlem1 11314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	24, 30, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
33	11, 32	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
34		nnltp1le 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	4, 6, 34	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
36	33, 35	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	29, 36	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
38	15	peano2zd 11361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39		1zzd 11285	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		elfz 12203	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
41	38, 39, 20, 40	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
42	37, 41	mpbird 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
43	18	nnred 10912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
44		nnleltp1 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
45	18, 4, 44	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
46	1, 45	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
47	43, 46	ltned 10052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
48	47	necomd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49		nelsn 4159	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
51	42, 50	eldifd 3551	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
52	23, 51	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  submateq  29203