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Theorem prmgaplem8 15600
Description: Lemma for prmgap 15601. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmgaplem7.f (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑𝑚 ℕ))
prmgaplem7.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
Assertion
Ref Expression
prmgaplem8 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝐹   𝑁,𝑝,𝑞,𝑧   𝑖,𝑁   𝜑,𝑝,𝑞,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑖)

Proof of Theorem prmgaplem8
StepHypRef Expression
1 prmnn 15226 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
21nnred 10912 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
32ad2antll 761 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
4 prmnn 15226 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
54nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
8 prmgaplem7.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
98nnred 10912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12 prmgaplem7.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (ℕ ↑𝑚 ℕ))
13 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (ℕ ↑𝑚 ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
14 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1514ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℕ⟶ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
1612, 13, 153syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) ∈ ℕ))
178, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ)
1817nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
1918ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
2019adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
21 1red 9934 . . . . . . . 8 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 1 ∈ ℝ)
2220, 21readdcld 9948 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℝ)
2317nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
24 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
258nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2623, 24, 25add32d 10142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2827ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) = (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1))
2917nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
318nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3330, 32zaddcld 11362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ)
34 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
35 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑁) + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3633, 34, 35syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ↔ (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞))
3736biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 𝑁) + 1) ≤ 𝑞)
3828, 37eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
3938expcom 450 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞))
4140imp 444 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (((𝐹𝑁) + 1) + 𝑁) ≤ 𝑞)
42 df-2 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 = (1 + 1)
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 = (1 + 1))
4443oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4523, 24, 24addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + 1) + 1) = ((𝐹𝑁) + (1 + 1)))
4644, 45eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝐹𝑁) + 2) = (((𝐹𝑁) + 1) + 1))
4847breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
49 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
5029peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ)
51 zleltp1 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑁) + 1) ∈ ℤ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5249, 50, 51syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1) ↔ 𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1)))
5352biimprd 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < (((𝐹𝑁) + 1) + 1) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5448, 53sylbid 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5554adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5655com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5756adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1)))
5857imp 444 . . . . . . 7 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑝 ≤ ((𝐹𝑁) + 1))
593, 7, 11, 22, 41, 58lesub3d 10524 . . . . . 6 (((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) ∧ ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
6059ex 449 . . . . 5 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
61603adant3 1074 . . . 4 ((𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ) → (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝)))
6261impcom 445 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → 𝑁 ≤ (𝑞𝑝))
63 simpr3 1062 . . 3 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)
6462, 63jca 553 . 2 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ)) → (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
65 prmgaplem7.i . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (2...𝑁)1 < (((𝐹𝑁) + 𝑖) gcd 𝑖))
668, 12, 65prmgaplem7 15599 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 < ((𝐹𝑁) + 2) ∧ ((𝐹𝑁) + 𝑁) < 𝑞 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
6764, 66reximddv2 3002 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 ≤ (𝑞𝑝) ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑞)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wnel 2781  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334   gcd cgcd 15054  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  prmgap  15601  prmgaplcm  15602  prmgapprmo  15604
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