Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlkextproplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlkextproplem1 26269
 Description: Lemma 1 for wwlkextprop 26272. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlkextprop.x 𝑋 = ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))
Assertion
Ref Expression
wwlkextproplem1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlkextproplem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknimp 26215 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
2 1zzd 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
3 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
43peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
54peano2zd 11361 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℤ)
62, 5, 43jca 1235 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
7 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
8 1red 9934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
9 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
108, 9addge02d 10495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
117, 10mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
12 peano2re 10088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1413lep1d 10834 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
1511, 14jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
16 elfz2 12204 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))))
176, 15, 16sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1)))
18 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (1...(#‘𝑊)) = (1...((𝑁 + 1) + 1)))
1918eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...((𝑁 + 1) + 1))))
2017, 19syl5ibr 235 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
22 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2321, 22jctild 564 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
24233adant3 1074 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
251, 24syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
26 wwlkextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1))
2725, 26eleq2s 2706 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
2827imp 444 . 2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
29 swrd0fv0 13292 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3028, 29syl 17 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  wwlkextproplem3  26271  wwlkextprop  26272
 Copyright terms: Public domain W3C validator