Theorem elfz2 12204

Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ and 𝑁 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfz2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem elfz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anass 679	. 2 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
2		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3	2	anbi1i 727	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
4		elfz1 12202	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5		3anass 1035	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6		ibar 524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
7	5, 6	syl5bb 271	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
8	4, 7	bitrd 267	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
9		fzf 12201	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
10	9	fdmi 5965	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
11	10	ndmov 6716	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12	11	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
13		noel 3878	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅
14	13	pm2.21i 115	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ∅ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
15		simpl 472	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
16	14, 15	pm5.21ni 366	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ∅ ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
17	12, 16	bitrd 267	. . 3 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))))
18	8, 17	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))))
19	1, 3, 18	3bitr4ri 292	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583   × cxp 5036  (class class class)co 6549   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfz4  12206  elfzuzb  12207  0nelfz1  12231  uzsubsubfz  12234  fzmmmeqm  12245  ssfzunsn  12257  fzpreddisj  12260  elfz1b  12279  fzp1nel  12293  elfz0ubfz0  12312  elfz0fzfz0  12313  fz0fzelfz0  12314  fz0fzdiffz0  12317  elfzmlbp  12319  preduz  12330  fzind2  12448  swrdswrdlem  13311  swrdswrd  13312  swrdccatin12lem2a  13336  swrdccatin12lem2b  13337  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2  13340  swrdccat3  13343  2cshwcshw  13422  cshwcsh2id  13425  fprodntriv  14511  fprodeq0  14544  prmgaplem4  15596  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulgsum  20488  gausslemma2dlem3  24893  2lgslem1a1  24914  wwlkextproplem1  26269  wwlkextproplem2  26270  clwlkfclwwlk  26371  monoords  38452  uzfissfz  38483  iuneqfzuzlem  38491  ssuzfz  38506  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  mccllem  38664  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  itgspltprt  38871  stoweidlem3  38896  stoweidlem34  38927  stoweidlem51  38944  fourierdlem12  39012  fourierdlem14  39014  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem79  39078  fourierdlem92  39091  fourierdlem93  39092  elaa2lem  39126  etransclem3  39130  etransclem7  39134  etransclem10  39137  etransclem24  39151  etransclem27  39154  etransclem28  39155  etransclem35  39162  etransclem38  39165  etransclem44  39171  iundjiun  39353  caratheodorylem1  39416  iccpartiltu  39960  31prm  40050  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  pfxccatin12lem1  40286  pfxccatin12lem2  40287  pfxccat3  40289  elfzelfzlble  40358  crctcsh1wlkn0lem3  41015  wwlksnextproplem2  41116  clwlksfclwwlk  41269