stoweidlem34 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stoweidlem34 38927

Description: This lemma proves that for all 𝑡 in 𝑇 there is a 𝑗 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the bottom of page 91 and at the top of page 92): (j-4/3) * ε < f(t) <= (j-1/3) * ε , g(t) < (j+1/3) * ε, and g(t) > (j-4/3) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem34.1	⊢ Ⅎ𝑡𝐹
stoweidlem34.2	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
stoweidlem34.3	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem34.4	⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
stoweidlem34.5	⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
stoweidlem34.6	⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
stoweidlem34.7	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem34.8	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
stoweidlem34.9	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
stoweidlem34.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
stoweidlem34.12	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem34.13	⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
stoweidlem34.14	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem34.15	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
stoweidlem34.16	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem34.17	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem34.18	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem34	⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑡,𝐸 𝐷,𝑖 𝑖,𝐽 𝑖,𝑁,𝑗,𝑡 𝑇,𝑖,𝑗,𝑡 𝜑,𝑖 𝑗,𝐹 𝑗,𝑋,𝑡 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑡,𝑗) 𝐵(𝑡,𝑖,𝑗) 𝐷(𝑡,𝑗) 𝐹(𝑡,𝑖) 𝐽(𝑡,𝑗) 𝑋(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem34 Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem34.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
2		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ 𝑇)
3		ovex 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...𝑁) ∈ V
4	3	rabex 4740	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
5		stoweidlem34.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
6	5	fvmpt2 6200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
7	2, 4, 6	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
8		ssrab2 3650	. . . . . . 7 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ⊆ (1...𝑁)
9	7, 8	syl6eqss 3618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ (1...𝑁))
10		elfznn 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
11	10	ssriv 3572	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
12	9, 11	syl6ss 3580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ)
13		nnssre 10901	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
14	12, 13	syl6ss 3580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ)
15		stoweidlem34.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℕ)
17		nnuz 11599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
18	16, 17	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
19		eluzfz2 12220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
21		stoweidlem34.11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸))
22		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ∈ ℝ
23		3ne0 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 ≠ 0
24	22, 23	rereccli 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
26		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
27	16	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		1lt3 11073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 < 3
29	22, 28	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3)
30		recgt1i 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (0 < (1 / 3) ∧ (1 / 3) < 1))
31	30	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 < 3) → (1 / 3) < 1)
32	29, 31	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) < 1)
33	25, 26, 27, 32	ltsub2dd 10519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)))
34	27, 26	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
35	27, 25	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
36		stoweidlem34.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
37	36	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝐸 ∈ ℝ)
39	36	rpgt0d 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 < 𝐸)
41		ltmul1 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
42	34, 35, 38, 40, 41	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) < (𝑁 − (1 / 3)) ↔ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
43	33, 42	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
44	21, 43	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
45		stoweidlem34.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
46	45	fnvinran 38196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
47	34, 38	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ)
48	35, 38	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
49		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
50		ltle 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
51	50	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
52	49, 51	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
53	46, 47, 48, 52	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (((𝐹‘𝑡) < ((𝑁 − 1) · 𝐸) ∧ ((𝑁 − 1) · 𝐸) < ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
54	44, 53	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
55		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
56	2, 54, 55	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
57		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58		nn0uz 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
59	57, 58	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
60		eluzfz2 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
61	15, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
62		stoweidlem34.8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
63		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
65		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑁 − (1 / 3)))
66	65	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸))
67	66	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)))
68	67	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
69		stoweidlem34.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
70	68, 69	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
71	61, 64, 70	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐷‘𝑁) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑁 − (1 / 3)) · 𝐸)})
73	56, 72	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁))
74		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗𝑁
75		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(1...𝑁)
76		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
77	69, 76	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗𝐷
78	77, 74	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑁)
79	78	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)
80		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑁))
81	80	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
82	74, 75, 79, 81	elrabf 3329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑁)))
83	20, 73, 82	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
84	83, 7	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡))
85		ne0i 3880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐽‘𝑡) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐽‘𝑡) ≠ ∅)
87		nnwo 11629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘)
88		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖(𝐽‘𝑡)
89		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑇
90		nfrab1 3099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}
91	89, 90	nfmpt 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
92	5, 91	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝐽
93		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗𝑡
94	92, 93	nffv 6110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑡)
95		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ≤ 𝑘
96	94, 95	nfral 2929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘
97		nfv 1830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘
98		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
99	98	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
100	88, 94, 96, 97, 99	cbvrexf 3142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑖 ≤ 𝑘 ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
101	87, 100	sylib 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽‘𝑡) ⊆ ℕ ∧ (𝐽‘𝑡) ≠ ∅) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
102	12, 86, 101	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
103		stoweidlem34.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
104		nfv 1830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ 𝑇
105	103, 104	nfan 1816	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
106	7	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
107	106	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
108		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
109	107, 108	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)))
110	109	simprd 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
112		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
113		simp1l 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝜑)
114		noel 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ¬ 𝑡 ∈ ∅
115		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
116		1m1e0 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 − 1) = 0
117	115, 116	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = 0)
118	117	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = (𝐷‘0))
119	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ∈ ℝ)
120	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 3 ≠ 0)
121	26, 119, 120	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (1 / 3) ∈ ℝ)
122	121	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → -(1 / 3) ∈ ℝ)
123	122, 38	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
124		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ∈ ℝ)
125		3pos 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 0 < 3
126	22, 125	recgt0ii 10808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 < (1 / 3)
127		lt0neg2 10414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0))
128	24, 127	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0 < (1 / 3) ↔ -(1 / 3) < 0)
129	126, 128	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ -(1 / 3) < 0
130		ltmul1 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((-(1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
131	122, 124, 38, 40, 130	syl112anc 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) < 0 ↔ (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸)))
132	129, 131	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (0 · 𝐸))
133		mul02lem2 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ → (0 · 𝐸) = 0)
134	38, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 · 𝐸) = 0)
135	132, 134	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < 0)
136		stoweidlem34.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝐹‘𝑡))
137	123, 124, 46, 135, 136	ltletrd 10076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
138	123, 46	ltnled 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((-(1 / 3) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
139	137, 138	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))
140		nan 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
141	139, 140	mpbir 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
142		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
143	141, 142	sylnibr 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
144	15	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
145		elnn0uz 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
146	144, 145	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
147		eluzfz1 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
149		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
150	62, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V)
151		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = (0 − (1 / 3)))
152		df-neg 10148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ -(1 / 3) = (0 − (1 / 3))
153	151, 152	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑗 − (1 / 3)) = -(1 / 3))
154	153	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = (-(1 / 3) · 𝐸))
155	154	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)))
156	155	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑗 = 0 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
157	156, 69	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘0) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
158	148, 150, 157	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (-(1 / 3) · 𝐸)})
159	143, 158	neleqtrrd 2710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
160	1, 159	alrimi 2069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
161		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡(0...𝑁)
162		nfrab1 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}
163	161, 162	nfmpt 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
164	69, 163	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡𝐷
165		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ Ⅎ𝑡0
166	164, 165	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘0)
167	166	eq0f 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐷‘0) = ∅ ↔ ∀𝑡 ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘0))
168	160, 167	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = ∅)
169	118, 168	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = ∅)
170	169	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ ∅))
171	114, 170	mtbiri 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 = 1) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
172	171	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑗 = 1 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
173	172	con2d 128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ 𝑗 = 1))
174	113, 112, 173	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 = 1)
175		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝜑)
176	106, 108	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))))
177	176	simprbda 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
178	15, 17	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
179	178	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
180		elfzp12 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
182	181	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))))
183	177, 182	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)))
184	183	orcanai 950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
185		fzssp1 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...((𝑁 − 1) + 1))
186	15	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
187		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
188	186, 187	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
189	188	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 − 1) + 1)) = (1...𝑁))
190	185, 189	syl5sseq 3616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
191	190	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
192		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁))
193		1z 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 1 ∈ ℤ
194		zaddcl 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 + 1) ∈ ℤ)
195	193, 193, 194	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (1 + 1) ∈ ℤ
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
197	15	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
198	197	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
199		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
200	199	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
201		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
202		fzsubel 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((1 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
203	196, 198, 200, 201, 202	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))))
204	192, 203	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
205		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 1 ∈ ℂ
206	205, 205	pncan3oi 10176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 + 1) − 1) = 1
207	206	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((1 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (1...(𝑁 − 1))
208	204, 207	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...(𝑁 − 1)))
209	191, 208	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ((1 + 1)...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
210	175, 184, 209	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ¬ 𝑗 = 1) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
211	210	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
212	211	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (¬ 𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁)))
213	174, 212	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁))
214		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝐷‘𝑖) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
215	214	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (𝑗 − 1) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
216	215	elrab3 3332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑗 − 1) ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
217	213, 216	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ((𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)} ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
218	112, 217	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)})
219		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖(1...𝑁)
220		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)
221		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
222	77, 221	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑖)
223	222	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)
224		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑖))
225	224	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)))
226	75, 219, 220, 223, 225	cbvrab 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑖 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)}
227	218, 226	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
228	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝐽‘𝑡) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
229	227, 228	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡))
230		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
231		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℝ)
232	177, 230, 231	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 𝑗 ∈ ℝ)
233	232	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
234		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
235	233, 234	jccir 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → (𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ))
236		ltm1 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − 1) < 𝑗)
237	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → (𝑗 − 1) < 𝑗)
238		ltnle 9996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
239	238	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ((𝑗 − 1) < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
240	237, 239	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑗 ∈ ℝ ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℝ) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
241	235, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1))
242		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑗 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
243	242	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)))
244	243	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑗 − 1) ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑗 ≤ (𝑗 − 1)) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
245	229, 241, 244	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘)
246		rexnal 2978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡) ¬ 𝑗 ≤ 𝑘 ↔ ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
247	245, 246	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘)
248	247	3expia 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) → ¬ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘))
249	248	con2d 128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
250	249	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
251	111, 250	eldifd 3551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
252	251	exp31 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
253	105, 252	reximdai 2995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)∀𝑘 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑗 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
254	102, 253	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
255		df-rex 2902	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
256	254, 255	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
257		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
258		eldifn 3695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
259		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
260		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝜑)
261	177	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
262		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))
263		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑘 − (1 / 3)))
264	263	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸))
265	264	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)))
266	265	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
267	266	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
268	69, 267	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)})
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
270		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → (𝑘 − (1 / 3)) = ((𝑗 − 1) − (1 / 3)))
271	270	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸))
272	271	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
273	272	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑗 − 1) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
274	273	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 = (𝑗 − 1)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
275		fzssp1 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
276	188	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
277	275, 276	syl5sseq 3616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
278	277	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
279		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
280		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℤ)
281	197	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
282	230	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
283		fzsubel 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
284	280, 281, 282, 280, 283	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
285	279, 284	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
286	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (1 − 1) = 0)
287	286	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1)))
288	285, 287	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
289	278, 288	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
290	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑇 ∈ V)
291		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
292	290, 291	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
293	269, 274, 289, 292	fvmptd 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘(𝑗 − 1)) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
294	293	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
295	294	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)) ↔ ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)}))
296	295	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
297	260, 261, 262, 296	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)})
298		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)))
299	232	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → 𝑗 ∈ ℝ)
300		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
301		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
302		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1 ∈ ℝ
303	302, 22, 23	3pm3.2i 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
304		redivcl 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (1 / 3) ∈ ℝ)
305		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
306	303, 304, 305	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
307	306	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (1 / 3) ∈ ℂ)
308	300, 301, 307	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
309		3cn 10972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 3 ∈ ℂ
310	309, 205, 309, 23	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = ((3 / 3) + (1 / 3))
311		3p1e4 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 + 1) = 4
312	311	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 + 1) / 3) = (4 / 3)
313	309, 23	dividi 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 / 3) = 1
314	313	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((3 / 3) + (1 / 3)) = (1 + (1 / 3))
315	310, 312, 314	3eqtr3i 2640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 / 3) = (1 + (1 / 3))
316	315	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (4 / 3) = (1 + (1 / 3)))
317	316	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 − (1 + (1 / 3))))
318	308, 317	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → ((𝑗 − 1) − (1 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
319	318	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ ℝ → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
320	299, 319	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
321	320	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
322	321	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)) ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
323	298, 322	syl5bb 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ (((𝑗 − 1) − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))))
324	297, 323	mtbid 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
325		imnan 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ↔ ¬ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
326	324, 325	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑡 ∈ 𝑇 → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
327	259, 326	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
328	258, 327	sylanr2 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
329	232	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ ℝ)
330		4re 10974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℝ
331	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 4 ∈ ℝ)
332	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ∈ ℝ)
333	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 3 ≠ 0)
334	331, 332, 333	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (4 / 3) ∈ ℝ)
335	329, 334	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
336	37	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
337		remulcl 9900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
338	337	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
339	335, 336, 338	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^*)
340	46	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
341	340	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*)
342		xrltnle 9984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ^* ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ^*) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
343	339, 341, 342	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ↔ ¬ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
344	328, 343	mpbird 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡))
345		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
346		simprr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
347	346	eldifad 3552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
348		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝜑)
349	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
350		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
351		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 − (1 / 3)) = (𝑗 − (1 / 3)))
352	351	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
353	352	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
354	353	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
355	354	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑘 = 𝑗) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑘 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
356		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 + 1) = 1
357	356	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
358		0z 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℤ
359		fzp1ss 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
360	358, 359	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
361	357, 360	eqsstr3i 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
362	361	sseli 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
363	362	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
364		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
365	290, 364	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
366	269, 355, 363, 365	fvmptd 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
367	366	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)}))
368	367	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
369	348, 349, 350, 368	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
370		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
371	369, 370	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
372	371	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
373	345, 257, 347, 372	syl21anc 1317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
374	344, 373	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
375	15	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
376		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑡 ∈ 𝑇)
377	177	adantrr 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
378		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (0...𝑁)
379	103, 378	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))
380		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ
381	379, 380	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
382		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑖 ∈ (0...𝑁)))
383	382	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁))))
384		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑋‘𝑗) = (𝑋‘𝑖))
385	384	feq1d 5943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ ↔ (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ))
386	383, 385	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)))
387		stoweidlem34.14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑗):𝑇⟶ℝ)
388	381, 386, 387	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
389	388	ad4ant14 1285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
390		simplll 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝜑)
391		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
392		simpllr 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
393	103, 378, 104	nf3an 1819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)
394		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1
395	393, 394	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
396	382	3anbi2d 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
397	384	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) = ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
398	397	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
399	396, 398	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
400		stoweidlem34.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ≤ 1)
401	395, 399, 400	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
402	390, 391, 392, 401	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
403		simplll 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
404		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
405		elfzel2 12211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
406	405	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
407		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
408	407	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
409	404, 406, 408	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
410		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
411		elfzel1 12212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
412	411	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
413	412	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
414	407	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
415	414	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
416		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ∈ ℝ)
417		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ∈ ℝ)
418		0le1 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ≤ 1
419	418	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 1)
420		elfzle1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
421	177, 420	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 1 ≤ 𝑗)
422	416, 417, 232, 419, 421	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) → 0 ≤ 𝑗)
423	422	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑗)
424		elfzle1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑗 ≤ 𝑖)
425	424	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
426	410, 413, 415, 423, 425	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ≤ 𝑖)
427		elfzle2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑗...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁)
428	427	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁)
429	426, 428	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
430		elfz2 12204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁)))
431	409, 429, 430	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
432	431	adantlrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
433		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
434		simplrl 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
435		simplrr 797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
436	435	eldifad 3552	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
437		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
438		simpl1 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇))
439	438	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ 𝑇)
440	438, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
441	412	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
442	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
443	441, 442	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
444		simpl1l 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝜑)
445	444, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
446	443, 445	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
447	414	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
448	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (1 / 3) ∈ ℝ)
449	447, 448	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
450	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
451	449, 450	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
452	444, 451	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
453		simpl3 1059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗))
454		simpl2 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡))
455	438, 454, 177	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ∈ (1...𝑁))
456	444, 455, 366	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑗) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
457	453, 456	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)})
458	457, 370	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)))
459	458	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
460	414	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ)
461	424	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑗 ≤ 𝑖)
462	441, 460, 442, 461	lesub1dd 10522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)))
463	444, 449	sylancom 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
464	36	rpregt0d 11754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
465	444, 464	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
466		lemul1 10754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑖 − (1 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
467	443, 463, 465, 466	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) ≤ (𝑖 − (1 / 3)) ↔ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
468	462, 467	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
469	440, 446, 452, 459, 468	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
470		rabid 3095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ↔ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
471	439, 469, 470	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
472		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁))
473		0zd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 ∈ ℤ)
474	405	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
475	407	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ)
476	473, 474, 475	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
477	429	3impa 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))
478	476, 477, 430	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
479	438, 454, 472, 478	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
480		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
481		rabexg 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑇 ∈ V → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
482	62, 481	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
483	482	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V)
484		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 − (1 / 3)) = (𝑖 − (1 / 3)))
485	484	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸))
486	485	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ↔ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)))
487	486	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)} = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
488	487, 69	fvmptg 6189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)} ∈ V) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
489	480, 483, 488	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
490	444, 479, 489	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐷‘𝑖) = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑖 − (1 / 3)) · 𝐸)})
491	471, 490	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
492	433, 434, 436, 437, 491	syl31anc 1321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
493	103, 378, 223	nf3an 1819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))
494		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)
495	493, 494	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
496	382, 225	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖))))
497	397	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)))
498	496, 497	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))))
499		stoweidlem34.17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)) → ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
500	495, 498, 499	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑖)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
501	403, 432, 492, 500	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋‘𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
502	36	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
503		stoweidlem34.13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < (1 / 3))
504	503	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
505	375, 376, 377, 389, 402, 501, 502, 504	stoweidlem11 38904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
506		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ↔ 𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)))
507		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘𝑙) = (𝐷‘𝑗))
508		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − 1) = (𝑗 − 1))
509	508	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐷‘(𝑙 − 1)) = (𝐷‘(𝑗 − 1)))
510	507, 509	difeq12d 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) = ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))
511	510	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))
512	506, 511	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))))
513	512	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))))))
514		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝑙 − (4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
515	514	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
516	515	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) ↔ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
517	513, 516	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
518		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑡 ∈ 𝑇))
519	518	anbi2d 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)))
520		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐽‘𝑠) = (𝐽‘𝑡))
521	520	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡)))
522		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))) ↔ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
523	521, 522	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))) ↔ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))))
524	519, 523	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))))
525		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
526	525	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠) ↔ ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
527	524, 526	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
528		stoweidlem34.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡𝐹
529		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ 𝑇
530	103, 529	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
531		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗𝑠
532	92, 531	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐽‘𝑠)
533	532	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
534		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
535	77, 534	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘𝑙)
536		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 − 1)
537	77, 536	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐷‘(𝑙 − 1))
538	535, 537	nfdif 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
539	538	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
540	533, 539	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
541	530, 540	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
542		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ 𝑇
543	1, 542	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)
544		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)})
545	5, 544	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
546		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡𝑠
547	545, 546	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐽‘𝑠)
548	547	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)
549		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡𝑙
550	164, 549	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑙)
551		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 − 1)
552	164, 551	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘(𝑙 − 1))
553	550, 552	nfdif 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑡((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
554	553	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))
555	548, 554	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
556	543, 555	nfan 1816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1)))))
557		stoweidlem34.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 = (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
558	15	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
559	62	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑇 ∈ V)
560	3	rabex 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V
561		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑡𝑗
562	164, 561	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑡(𝐷‘𝑗)
563	562	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)
564		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑁)
565	563, 564	nfrab 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}
566		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)))
567	566	rabbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑡 ∈ (𝐷‘𝑗)} = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
568	546, 565, 567, 5	fvmptf 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ∈ V) → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
569	560, 568	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝐽‘𝑠) = {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
570	569	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ↔ 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)}))
571	570	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)})
572	535	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)
573		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘𝑙))
574	573	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗) ↔ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
575	534, 75, 572, 574	elrabf 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑙 ∈ {𝑗 ∈ (1...𝑁) ∣ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑗)} ↔ (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
576	571, 575	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → (𝑙 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷‘𝑙)))
577	576	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑇 ∧ 𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠)) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
578	577	ad2ant2lr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑙 ∈ (1...𝑁))
579		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))
580	45	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
581	36	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
582	503	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → 𝐸 < (1 / 3))
583	388	ad4ant14 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋‘𝑖):𝑇⟶ℝ)
584		simp1ll 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 𝜑)
585		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
586	393, 585	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
587	397	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
588	396, 587	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
589		stoweidlem34.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
590	586, 588, 589	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
591	584, 590	syld3an1 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
592		simp1ll 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → 𝜑)
593		nfmpt1 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ (0...𝑁) ↦ {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ≤ (𝐹‘𝑡)})
594	557, 593	nfcxfr 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
595	594, 221	nffv 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵‘𝑖)
596	595	nfcri 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)
597	103, 378, 596	nf3an 1819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))
598		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑗(1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)
599	597, 598	nfim 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
600		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘𝑖))
601	600	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗) ↔ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)))
602	382, 601	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖))))
603	397	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡) ↔ (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))
604	602, 603	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))))
605		stoweidlem34.18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑗)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑗)‘𝑡))
606	599, 604, 605	chvar 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
607	592, 606	syld3an1 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑡 ∈ (𝐵‘𝑖)) → (1 − (𝐸 / 𝑁)) < ((𝑋‘𝑖)‘𝑡))
608	528, 541, 556, 69, 557, 558, 559, 578, 579, 580, 581, 582, 583, 591, 607	stoweidlem26 38919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑠) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑠))
609	527, 608	vtoclg 3239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
610	609	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
611	610	pm2.43i 50	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑙 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑙) ∖ (𝐷‘(𝑙 − 1))))) → ((𝑙 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
612	517, 611	vtoclg 3239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
613	612	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
614	613	pm2.43i 50	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))
615	505, 614	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))
616	257, 374, 615	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1))))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
617	616	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
618	105, 617	eximd 2072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ 𝑡 ∈ ((𝐷‘𝑗) ∖ (𝐷‘(𝑗 − 1)))) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
619	256, 618	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
620		3anass 1035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ (𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
621	620	exbii 1764	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
622	619, 621	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
623		df-rex 2902	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) ↔ ∃𝑗(𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡) ∧ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
624	622, 623	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
625		nfcv 2751	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
626	94, 625	ssrexf 3628	. . . 4 ⊢ ((𝐽‘𝑡) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐽‘𝑡)((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
627	14, 624, 626	sylc 63	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))
628	627	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 → ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡)))))
629	1, 628	ralrimi 2940	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝑇 ∃𝑗 ∈ ℝ ((((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < (𝐹‘𝑡) ∧ (𝐹‘𝑡) ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸)) ∧ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∧ ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋‘𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∨ wo 382 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 ∀wal 1473 = wceq 1475 ∃wex 1695 Ⅎwnf 1699 ∈ wcel 1977 Ⅎwnfc 2738 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 {crab 2900 Vcvv 3173 ∖ cdif 3537 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 -cneg 10146 / cdiv 10563 ℕcn 10897 3c3 10948 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 ...cfz 12197 Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-oi 8298 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265

This theorem is referenced by: stoweidlem60 38953

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