Theorem lttr 9993

Description: Alias for axlttrn 9989, for naming consistency with lttri 10042. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 9890. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 9989	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  ltso  9997  lelttr  10007  ltletr  10008  lttri  10042  lttrd  10077  lt2sub  10405  mulgt1  10761  recgt1i  10799  recreclt  10801  sup2  10858  nnge1  10923  recnz  11328  gtndiv  11330  xrlttr  11849  fzo1fzo0n0  12386  flflp1  12470  1mod  12564  seqf1olem1  12702  expnbnd  12855  expnlbnd  12856  swrd2lsw  13543  2swrd2eqwrdeq  13544  sin01gt0  14759  cos01gt0  14760  ltoddhalfle  14923  nno  14936  dvdsnprmd  15241  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmul0  20486  iscmet3lem1  22897  bcthlem4  22932  bcthlem5  22933  ivthlem2  23028  ovolicc2lem3  23094  mbfaddlem  23233  reeff1olem  24004  logdivlti  24170  logblog  24330  ftalem2  24600  chtub  24737  bclbnd  24805  efexple  24806  bposlem1  24809  lgsquadlem2  24906  pntlem3  25098  axlowdimlem16  25637  wwlknredwwlkn  26254  clwwlkel  26321  numclwwlkovf2ex  26613  frgraogt3nreg  26647  poimirlem2  32581  stoweidlem34  38927  smonoord  39944  m1mod0mod1  39949  sgoldbalt  40203  bgoldbtbndlem3  40223  bgoldbtbndlem4  40224  tgoldbach  40232  tgoldbachOLD  40239  pthdlem1  40972  wwlksnredwwlkn  41101  clwwlksel  41221  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-frgraogt3nreg  41551  difmodm1lt  42111  regt1loggt0  42128  rege1logbrege0  42150  dignn0flhalflem1  42207