Theorem elfzel2 12211

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12210	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 11573	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12223  fzdisj  12239  fzssp1  12255  fzp1disj  12269  fzrev2i  12275  fzrev3  12276  fznuz  12291  fznn0sub2  12315  elfzmlbm  12318  difelfznle  12322  nn0disj  12324  fz1fzo0m1  12383  fzofzp1b  12432  bcm1k  12964  bcp1nk  12966  swrdccatin12lem2  13340  spllen  13356  fsum0diag2  14357  fallfacval3  14582  fallfacval4  14613  psgnunilem2  17738  pntpbnd1  25075  elfzfzo  38429  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  stoweidlem34  38927  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem54  39053  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  etransclem23  39150  etransclem35  39162  iundjiun  39353  iccpartiltu  39960  iccpartgt  39965  pfxccatin12lem2  40287  2elfz2melfz  40355  elfzelfzlble  40358  crctcsh1wlkn0  41024