Theorem elfzuz3 12210

Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuz3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuzb 12207	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
2	1	simprbi 479	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfzel2  12211  elfzle2  12216  peano2fzr  12225  fzsplit2  12237  fzsplit  12238  fznn0sub  12244  fzopth  12249  fzss1  12251  fzss2  12252  fzp1elp1  12264  predfz  12333  fzosplit  12370  fzoend  12425  fzofzp1b  12432  uzindi  12643  seqcl2  12681  seqfveq2  12685  monoord  12693  sermono  12695  seqsplit  12696  seqf1olem2  12703  seqid2  12709  seqhomo  12710  seqz  12711  bcval5  12967  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  swrdval2  13272  swrd0val  13273  swrd0len  13274  spllen  13356  splfv2a  13358  fsum0diag2  14357  climcndslem2  14421  prodfn0  14465  lcmflefac  15199  pcbc  15442  vdwlem2  15524  vdwlem5  15527  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  prmgaplem1  15591  psgnunilem5  17737  efgsres  17974  efgredleme  17979  efgcpbllemb  17991  imasdsf1olem  21988  volsup  23131  dvn2bss  23499  dvtaylp  23928  wilth  24597  ftalem1  24599  ppisval2  24631  dvdsppwf1o  24712  logfaclbnd  24747  bposlem6  24814  eupares  26502  fzsplit3  28940  ballotlemsima  29904  ballotlemfrc  29915  ballotlemfrceq  29917  fzssfzo  29940  wrdres  29943  signstres  29978  erdszelem7  30433  erdszelem8  30434  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem7  32586  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  mettrifi  32723  bcc0  37561  iunincfi  38300  fmulcl  38648  fmul01lt1lem2  38652  dvnprodlem2  38837  stoweidlem11  38904  stoweidlem17  38910  fourierdlem15  39015  smonoord  39944  pfxres  40251  pfxf  40252  repswpfx  40299  ssfz12  40351  1wlkres  40879