MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzel2 11563
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11562 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzelz 10976 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-neg 9704  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11574  fzdisj  11588  fznn0sub2  11600  fzssp1  11613  fzp1disj  11627  fzrev2i  11633  fzrev3  11634  fznuz  11654  fzofzp1b  11737  bcm1k  12203  bcp1nk  12205  swrdccatin12lem2  12493  spllen  12509  fsum0diag2  13363  psgnunilem2  16115  pntpbnd1  22963  fallfacval3  27654  fallfacval4  27685  stoweidlem34  29972  2elfz2melfz  30345  elfzelfzlble  30352  difelfznle  30631  nn0disj  30881
  Copyright terms: Public domain W3C validator