MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzel2 11682
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11681 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzelz 11087 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11693  fzdisj  11708  fzssp1  11722  fzp1disj  11734  fzrev2i  11740  fzrev3  11741  fznuz  11756  fznn0sub2  11775  difelfznle  11782  nn0disj  11784  fzofzp1b  11874  bcm1k  12357  bcp1nk  12359  swrdccatin12lem2  12673  spllen  12689  fsum0diag2  13557  psgnunilem2  16316  pntpbnd1  23499  fallfacval3  28711  fallfacval4  28742  elfzfzo  31035  sumnnodd  31172  stoweidlem34  31334  fourierdlem11  31418  fourierdlem12  31419  fourierdlem15  31422  fourierdlem41  31448  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem54  31461  fourierdlem79  31486  fourierdlem102  31509  fourierdlem114  31521  2elfz2melfz  31803  elfzelfzlble  31806
  Copyright terms: Public domain W3C validator