MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzel2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzel2 11689
Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzel2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzel2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11688 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzelz 11091 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11700  fzdisj  11715  fzssp1  11730  fzp1disj  11742  fzrev2i  11748  fzrev3  11749  fznuz  11764  fznn0sub2  11785  elfzmlbm  11788  difelfznle  11793  nn0disj  11795  fzofzp1b  11891  bcm1k  12375  bcp1nk  12377  swrdccatin12lem2  12705  spllen  12721  fsum0diag2  13680  psgnunilem2  16719  pntpbnd1  23969  fallfacval3  29375  fallfacval4  29406  elfzfzo  31698  sumnnodd  31875  dvnmul  31979  dvnprodlem1  31982  dvnprodlem2  31983  stoweidlem34  32055  fourierdlem11  32139  fourierdlem12  32140  fourierdlem15  32143  fourierdlem41  32169  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem54  32182  fourierdlem79  32207  fourierdlem102  32230  fourierdlem114  32242  etransclem23  32279  etransclem35  32291  pfxccatin12lem2  32652  2elfz2melfz  32708  elfzelfzlble  32711
  Copyright terms: Public domain W3C validator