Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem35 39162
 Description: 𝑃 does not divide the P-1 -th derivative of 𝐹 applied to 0. This is case 2 of the proof in [Juillerat] p. 13 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem35.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem35.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem35.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem35.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem35.d 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
Assertion
Ref Expression
etransclem35 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑗,𝑥   𝐷,𝑐,𝑗   𝑀,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝑃,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥   𝜑,𝑐,𝑗,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑗,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem etransclem35
Dummy variables 𝐴 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9907 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 reopn 38442 . . . . 5 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
4 eqid 2610 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54tgioo2 22414 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
63, 5eleqtri 2686 . . . 4 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
8 etransclem35.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
9 etransclem35.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
10 etransclem35.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
11 nnm1nn0 11211 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
128, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
13 etransclem5 39132 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
14 etransclem35.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
15 0red 9920 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
162, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15etransclem31 39158 . 2 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))))
17 nfv 1830 . . 3 𝑐𝜑
18 nfcv 2751 . . 3 𝑐(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
1914, 12etransclem16 39143 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
20 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
2114, 12etransclem12 39139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝐶‘(𝑃 − 1)) = {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
2320, 22eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
24 rabid 3095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2523, 24sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)))
2625simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
2726eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 1) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
2827fveq2d 6107 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (!‘(𝑃 − 1)) = (!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)))
2928oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))))
30 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑗𝑐
31 fzfid 12634 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (0...𝑀) ∈ Fin)
32 nn0ex 11175 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
33 fzssnn0 38474 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0
34 mapss 7786 . . . . . . . . . 10 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ0) → ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3532, 33, 34mp2an 704 . . . . . . . . 9 ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ⊆ (ℕ0𝑚 (0...𝑀))
3625simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)))
3735, 36sseldi 3566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 (0...𝑀)))
3830, 31, 37mccl 38665 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
3929, 38eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℕ)
4039nnzd 11357 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℤ)
418adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
429adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
43 elmapi 7765 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
4436, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
45 0zd 11266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
4641, 42, 44, 45etransclem10 39137 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) ∈ ℤ)
47 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (1...𝑀) ∈ Fin)
488ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4944adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
50 fz1ssfz0 38465 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ⊆ (0...𝑀)
5150sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
5251adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
53 0zd 11266 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
5448, 49, 52, 53etransclem3 39130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5547, 54fprodzcl 14523 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
5646, 55zmulcld 11364 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) ∈ ℤ)
5740, 56zmulcld 11364 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℤ)
5857zcnd 11359 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) ∈ ℂ)
59 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
6012, 59syl6eleq 2698 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
61 eluzfz2 12220 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
63 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6562, 64ifcld 4081 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
67 etransclem35.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
6866, 67fmptd 6292 . . . . . 6 (𝜑𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
69 ovex 6577 . . . . . . 7 (0...(𝑃 − 1)) ∈ V
70 ovex 6577 . . . . . . 7 (0...𝑀) ∈ V
7169, 70elmap 7772 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ↔ 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
7268, 71sylibr 223 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)))
739, 59syl6eleq 2698 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
74 fzsscn 38467 . . . . . . . 8 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℂ
7568ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
7674, 75sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℂ)
77 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
7873, 76, 77fsum1p 14326 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)))
7967a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0)))
80 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 = 0) → 𝑗 = 0)
8180iftrued 4044 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = (𝑃 − 1))
82 eluzfz1 12219 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
8373, 82syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
8479, 81, 83, 12fvmptd 6197 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
85 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
8685oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1)...𝑀) = (1...𝑀)
8786sumeq1i 14276 . . . . . . . . 9 Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗)
8887a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗))
8967fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
9051, 65, 89syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
91 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
92 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
93 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9493zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
95 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
97 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑗)
9891, 92, 94, 96, 97ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑗)
9991, 98gtned 10051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → 𝑗 ≠ 0)
10099neneqd 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → ¬ 𝑗 = 0)
101100iffalsed 4047 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
102101adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
10390, 102eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) = 0)
104103sumeq2dv 14281 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)(𝐷𝑗) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0)
105 fzfi 12633 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ∈ Fin
106105olci 405 . . . . . . . . 9 ((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin)
107 sumz 14300 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
108106, 107mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
10988, 104, 1083eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗) = 0)
11084, 109oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐷‘0) + Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝐷𝑗)) = ((𝑃 − 1) + 0))
1118nncnd 10913 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
112 1cnd 9935 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
113111, 112subcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
114113addid1d 10115 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 0) = (𝑃 − 1))
11578, 110, 1143eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1))
116 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
117116sumeq2ad 38632 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗))
118117eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1) ↔ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
119118elrab 3331 . . . . 5 (𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)} ↔ (𝐷 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝐷𝑗) = (𝑃 − 1)))
12072, 115, 119sylanbrc 695 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ {𝑐 ∈ ((0...(𝑃 − 1)) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1)})
121120, 21eleqtrrd 2691 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
122116fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑐𝑗)) = (!‘(𝐷𝑗)))
123122prodeq2ad 38659 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
124123oveq2d 6565 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
125 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑐‘0) = (𝐷‘0))
126125breq2d 4595 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) < (𝑐‘0) ↔ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
127125oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) = ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))
128127fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
129128oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
130127oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))
131129, 130oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
132126, 131ifbieq2d 4061 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))))
133116breq2d 4595 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 < (𝑐𝑗) ↔ 𝑃 < (𝐷𝑗)))
134116oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐷 → (𝑃 − (𝑐𝑗)) = (𝑃 − (𝐷𝑗)))
135134fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐷 → (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗))) = (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))))
136135oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
137134oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐷 → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))) = ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))
138136, 137oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
139133, 138ifbieq2d 4061 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐷 → if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
140139prodeq2ad 38659 . . . . 5 (𝑐 = 𝐷 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))
141132, 140oveq12d 6567 . . . 4 (𝑐 = 𝐷 → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))))
142124, 141oveq12d 6567 . . 3 (𝑐 = 𝐷 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))))
14317, 18, 19, 58, 121, 142fsumsplit1 38639 . 2 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))))
14433, 75sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℕ0)
145144faccld 12933 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℕ)
146145nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) ∈ ℂ)
14777fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 0 → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝐷‘0)))
14873, 146, 147fprod1p 14537 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))))
14984fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝐷‘0)) = (!‘(𝑃 − 1)))
15086prodeq1i 14487 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))
151150a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)))
152103fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = (!‘0))
153 fac0 12925 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘0) = 1
154152, 153syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝐷𝑗)) = 1)
155154prodeq2dv 14492 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1)
156 prod1 14513 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ𝐴) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
157106, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)1 = 1)
158151, 155, 1573eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = 1)
159149, 158oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝐷‘0)) · ∏𝑗 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
16012faccld 12933 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
161160nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
162161mulid1d 9936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
163148, 159, 1623eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗)) = (!‘(𝑃 − 1)))
164163oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))))
165160nnne0d 10942 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
166161, 165dividd 10678 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1))) = 1)
167164, 166eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) = 1)
16812nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
16984, 168eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ ℝ)
170169, 168lttri3d 10056 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷‘0) = (𝑃 − 1) ↔ (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))))
17184, 170mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ (𝐷‘0) < (𝑃 − 1) ∧ ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0)))
172171simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑃 − 1) < (𝐷‘0))
173172iffalsed 4047 . . . . . . . 8 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))))
17484eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 1) = (𝐷‘0))
175113, 174subeq0bd 10335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)) = 0)
176175fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (!‘0))
177176, 153syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
178177oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) / 1))
179161div1d 10672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / 1) = (!‘(𝑃 − 1)))
180178, 179eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
181175oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = (0↑0))
182 0cnd 9912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
183182exp0d 12864 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0↑0) = 1)
184181, 183eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))) = 1)
185180, 184oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · 1))
186173, 185, 1623eqtrd 2648 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) = (!‘(𝑃 − 1)))
187 fzssre 38470 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ ℝ
18868adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
18951adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
190188, 189ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
191187, 190sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ∈ ℝ)
1928nnred 10912 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
193192adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
1948nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑃)
19515, 192, 194ltled 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑃)
196195adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ 𝑃)
197103, 196eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑗) ≤ 𝑃)
198191, 193, 197lensymd 10067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ¬ 𝑃 < (𝐷𝑗))
199198iffalsed 4047 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))
200103oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = (𝑃 − 0))
201111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
202201subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − 0) = 𝑃)
203200, 202eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃 − (𝐷𝑗)) = 𝑃)
204203fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (!‘𝑃))
205204oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)))
2068nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
207206faccld 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℕ)
208207nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ∈ ℂ)
209207nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑃) ≠ 0)
210208, 209dividd 10678 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
211210adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘𝑃)) = 1)
212205, 211eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = 1)
213 df-neg 10148 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑗 = (0 − 𝑗)
214213eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 𝑗) = -𝑗
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (0 − 𝑗) = -𝑗)
216215, 203oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))) = (-𝑗𝑃))
217212, 216oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))) = (1 · (-𝑗𝑃)))
21893znegcld 11360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℤ)
219218zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑀) → -𝑗 ∈ ℂ)
220219adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → -𝑗 ∈ ℂ)
221206adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
222220, 221expcld 12870 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
223222mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (1 · (-𝑗𝑃)) = (-𝑗𝑃))
224199, 217, 2233eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = (-𝑗𝑃))
225224prodeq2dv 14492 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))) = ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))
226186, 225oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝜑 → (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗)))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
227167, 226oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))))
228 fzfid 12634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
229 zexpcl 12737 . . . . . . . . . 10 ((-𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
230218, 206, 229syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (1...𝑀)) → (-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
231228, 230fprodzcl 14523 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℤ)
232231zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) ∈ ℂ)
233161, 232mulcld 9939 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) ∈ ℂ)
234233mulid2d 9937 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
235227, 234eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
236 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1)))
23783adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ∈ (0...𝑀))
23844, 237ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
239236, 238sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
240187, 239sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℝ)
241168adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
242 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐‘0) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
243239, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ≤ (𝑃 − 1))
244240, 241, 243lensymd 10067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) < (𝑐‘0))
245244iffalsed 4047 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))))
24612nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
247246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
248239elfzelzd 38471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) ∈ ℤ)
249247, 248zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ)
250 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
25144, 250syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
252251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 Fn (0...𝑀))
253 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
25468, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐷 Fn (0...𝑀))
255254ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝐷 Fn (0...𝑀))
256 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 0 → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝑐‘0))
258 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
259258eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 − 1) = (𝑐‘0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
260259ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
26177adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = (𝐷‘0))
26284adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝐷‘0) = (𝑃 − 1))
263261, 262eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
264263adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑃 − 1) = (𝐷𝑗))
265257, 260, 2643eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
266265adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
267266adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
26826ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
269168ad5antr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
270168ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
27144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...(𝑃 − 1)))
27250sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
273272adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
274271, 273ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
27533, 274sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
27647, 275fsumnn0cl 14314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
277276nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
278277ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
279 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ∈ ℝ)
28044ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
281187, 280sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
282281ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ∈ ℝ)
283 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0)
284 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 𝑘(𝑐𝑗)
285 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (1...𝑀) ∈ Fin)
286 simp-4l 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
28774, 274sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
288286, 287sylancom 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
289 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ∈ ℤ)
290 elfzel2 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
291290adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
292 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
293292adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℤ)
294289, 291, 2933jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
295 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
296295adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
297 neqne 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 𝑗 = 0 → 𝑗 ≠ 0)
298297adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ≠ 0)
299 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ≠ 0))
300296, 298, 299sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ ℕ)
301300nnge1d 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 1 ≤ 𝑗)
302 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
303302adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗𝑀)
304294, 301, 303jca32 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑀)))
305 elfz2 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑗 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗𝑗𝑀)))
306304, 305sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
307306adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
308307adantlll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑗 ∈ (1...𝑀))
309 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = 𝑗 → (𝑐𝑘) = (𝑐𝑗))
310283, 284, 285, 288, 308, 309fsumsplit1 38639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
311310eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
312311, 278eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)) ∈ ℝ)
313 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑐𝑗) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
314280, 313syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
315314ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 ≤ (𝑐𝑗))
316 neqne 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (¬ (𝑐𝑗) = 0 → (𝑐𝑗) ≠ 0)
317316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≠ 0)
318279, 282, 315, 317leneltd 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < (𝑐𝑗))
319 diffi 8077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
320105, 319mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
321 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗}) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
322321adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (1...𝑀))
32350, 322sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
32444ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
325187, 324sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
326323, 325syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → (𝑐𝑘) ∈ ℝ)
327 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑐𝑘) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
328324, 327syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
329323, 328syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})) → 0 ≤ (𝑐𝑘))
330320, 326, 329fsumge0 14368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
331330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))
332320, 326fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
333332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ∈ ℝ)
334281, 333addge01d 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘) ↔ (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘))))
335331, 334mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
336335ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐𝑗) ≤ ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
337279, 282, 312, 318, 336ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < ((𝑐𝑗) + Σ𝑘 ∈ ((1...𝑀) ∖ {𝑗})(𝑐𝑘)))
338337, 311breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 0 < Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
339278, 338elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘) ∈ ℝ+)
340270, 339ltaddrpd 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
341340adantlllr 38222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
342 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 𝑘 → (𝑐𝑗) = (𝑐𝑘))
343342cbvsumv 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘)
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘))
34573ad5antr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → 𝑀 ∈ (ℤ‘0))
346 simp-5l 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))))
34774, 324sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
348346, 347sylancom 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℂ)
349 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 0 → (𝑐𝑘) = (𝑐‘0))
350345, 348, 349fsum1p 14326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)))
351259ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑐‘0) = (𝑃 − 1))
35286sumeq1i 14276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)
353352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘))
354351, 353oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑐‘0) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑀)(𝑐𝑘)) = ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)))
355344, 350, 3543eqtrrd 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ((𝑃 − 1) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑐𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
356341, 355breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → (𝑃 − 1) < Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗))
357269, 356gtned 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) ≠ (𝑃 − 1))
358357neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) ∧ ¬ (𝑐𝑗) = 0) → ¬ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = (𝑃 − 1))
359268, 358condan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = 0)
360 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ (0...𝑀))
36133, 66sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0)
36267fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) ∈ ℕ0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
363360, 361, 362syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
364363adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝐷𝑗) = if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0))
365 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → ¬ 𝑗 = 0)
366365iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 0) = 0)
367364, 366eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
368367adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
369368adantllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → 0 = (𝐷𝑗))
370359, 369eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ ¬ 𝑗 = 0) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
371267, 370pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) = (𝐷𝑗))
372252, 255, 371eqfnfvd 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
373236, 372sylanl2 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → 𝑐 = 𝐷)
374 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → 𝑐𝐷)
375374neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
376375ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0)) → ¬ 𝑐 = 𝐷)
377373, 376pm2.65da 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ¬ (𝑃 − 1) = (𝑐‘0))
378377neqned 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑃 − 1) ≠ (𝑐‘0))
379240, 241, 243, 378leneltd 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (𝑐‘0) < (𝑃 − 1))
380240, 241posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑐‘0) < (𝑃 − 1) ↔ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
381379, 380mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))
382 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ ↔ (((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))
383249, 381, 382sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ)
3843830expd 12886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) = 0)
385384oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0))
386161adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
387383nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)) ∈ ℕ0)
388387faccld 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℕ)
389388nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ∈ ℂ)
390388nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))) ≠ 0)
391386, 389, 390divcld 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) ∈ ℂ)
392391mul01d 10114 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · 0) = 0)
393245, 385, 3923eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) = 0)
394393oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))
395236, 55sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℤ)
396395zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))) ∈ ℂ)
397396mul02d 10113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0 · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
398394, 397eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))) = 0)
399398oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0))
400 fzfid 12634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (0...𝑀) ∈ Fin)
40133, 280sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶‘(𝑃 − 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
402236, 401sylanl2 681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑗) ∈ ℕ0)
403402faccld 12933 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
404400, 403fprodnncl 14524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℕ)
405404nncnd 10913 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
406404nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗)) ≠ 0)
407386, 405, 406divcld 10680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → ((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
408407mul01d 10114 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · 0) = 0)
409399, 408eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})) → (((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
410409sumeq2dv 14281 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0)
411 diffi 8077 . . . . . . . 8 ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∈ Fin → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
41219, 411syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin)
413412olcd 407 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin))
414 sumz 14300 . . . . . 6 ((((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷}) ∈ Fin) → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
415413, 414syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})0 = 0)
416410, 415eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗))))))) = 0)
417235, 416oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0))
418233addid1d 10115 . . 3 (𝜑 → (((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) + 0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)))
419 nfv 1830 . . . . 5 𝑗𝜑
420419, 206, 228, 220fprodexp 38661 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃) = (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃))
421420oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((!‘(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)(-𝑗𝑃)) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
422417, 418, 4213eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝐷𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝐷‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝐷‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝐷‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝐷𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝐷𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝐷𝑗))))))) + Σ𝑐 ∈ ((𝐶‘(𝑃 − 1)) ∖ {𝐷})(((!‘(𝑃 − 1)) / ∏𝑗 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑗))) · (if((𝑃 − 1) < (𝑐‘0), 0, (((!‘(𝑃 − 1)) / (!‘((𝑃 − 1) − (𝑐‘0)))) · (0↑((𝑃 − 1) − (𝑐‘0))))) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)if(𝑃 < (𝑐𝑗), 0, (((!‘𝑃) / (!‘(𝑃 − (𝑐𝑗)))) · ((0 − 𝑗)↑(𝑃 − (𝑐𝑗)))))))) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
42316, 143, 4223eqtrd 2648 1 (𝜑 → (((ℝ D𝑛 𝐹)‘(𝑃 − 1))‘0) = ((!‘(𝑃 − 1)) · (∏𝑗 ∈ (1...𝑀)-𝑗𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Σcsu 14264  ∏cprod 14474   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567   D𝑛 cdvn 23434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438 This theorem is referenced by:  etransclem41  39168
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