Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elfzelfzlble Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzelfzlble 40358
Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzelfzlble ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzelfzlble
StepHypRef Expression
1 elfz2 12204 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
2 3simpc 1053 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
32adantr 480 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
41, 3sylbi 206 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
54anim2i 591 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
6 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
76anim2i 591 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
87ancomd 466 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
9 zsubcl 11296 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
116adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 simprr 792 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
1310, 11, 123jca 1235 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
145, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
15143adant3 1074 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
16 elfzel2 12211 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716zred 11358 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19 zre 11258 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2221zred 11358 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
2418, 20, 233jca 1235 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
25 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26 readdcl 9898 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
27263adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
28 ltle 10005 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
2925, 27, 28syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
30 lesubadd2 10380 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑀) ≤ 𝐾𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
3129, 30sylibrd 248 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁𝑀) ≤ 𝐾))
3224, 31syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁𝑀) ≤ 𝐾))
33323impia 1253 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝑀) ≤ 𝐾)
34 elfzle2 12216 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
35343ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾𝑁)
3615, 33, 35jca32 556 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
37 elfz2 12204 . 2 (𝐾 ∈ ((𝑁𝑀)...𝑁) ↔ (((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁𝑀) ≤ 𝐾𝐾𝑁)))
3836, 37sylibr 223 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁𝑀)...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cz 11254  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator