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Theorem etransclem23 39150
 Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem23.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
etransclem23.l 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
etransclem23.k 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
etransclem23.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem23.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
etransclem23.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
etransclem23.lt1 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
Assertion
Ref Expression
etransclem23 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑥   𝑃,𝑗,𝑥   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐾(𝑥,𝑗)   𝐿(𝑥,𝑗)

Proof of Theorem etransclem23
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem23.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1)))
2 etransclem23.l . . . . . . 7 𝐿 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)
32oveq1i 6559 . . . . . 6 (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
41, 3eqtri 2632 . . . . 5 𝐾 = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))
54fveq2i 6106 . . . 4 (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1))))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐾) = (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))))
7 fzfid 12634 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
8 etransclem23.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
10 elfznn0 12302 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1110adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
129, 11ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
1312zcnd 11359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
14 ere 14658 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ
1514recni 9931 . . . . . . . . 9 e ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
17 elfzelz 12213 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1817zcnd 11359 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
2016, 19cxpcld 24254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
2113, 20mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
2215a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℂ)
23 elioore 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2625negcld 10258 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℂ)
2722, 26cxpcld 24254 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℂ)
28 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
30 etransclem23.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
31 etransclem23.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃)))
3229, 30, 31etransclem8 39135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3533, 34ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3635adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3727, 36mulcld 9939 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
38 reelprrecn 9907 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
40 reopn 38442 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 22414 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2686 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ℝ ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4530adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 etransclem23.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4746nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4847adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
49 etransclem6 39133 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑃))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
50 etransclem6 39133 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
5131, 49, 503eqtri 2636 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
52 0red 9920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
5317zred 11358 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
5453adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
5539, 44, 45, 48, 51, 52, 54etransclem18 39145 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
5637, 55itgcl 23356 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥 ∈ ℂ)
5721, 56mulcld 9939 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
587, 57fsumcl 14311 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℂ)
59 nnm1nn0 11211 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6030, 59syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
6160faccld 12933 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6261nncnd 10913 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
6361nnne0d 10942 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ≠ 0)
6458, 62, 63absdivd 14042 . . 3 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))))
6561nnred 10912 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ)
6661nnnn0d 11228 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ0)
6766nn0ge0d 11231 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (!‘(𝑃 − 1)))
6865, 67absidd 14009 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(!‘(𝑃 − 1))) = (!‘(𝑃 − 1)))
6968oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (abs‘(!‘(𝑃 − 1)))) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
706, 64, 693eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → (abs‘𝐾) = ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))))
712, 58syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
7271, 62, 63divcld 10680 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℂ)
731, 72syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
7473abscld 14023 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐾) ∈ ℝ)
7570, 74eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
7646nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7730nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7876, 77reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
79 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8047, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
8178, 80reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
8281recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8346nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
8482, 83mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
8530nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
86 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8785, 86npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
8887eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 = ((𝑃 − 1) + 1))
8988oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)))
9080nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
9190, 85mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 + 1) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑀 + 1)))
9291oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))))
9383, 77, 80expmuld 12873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑((𝑀 + 1) · 𝑃)) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃))
9483, 80, 77expmuld 12873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑃 · (𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9592, 93, 943eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
9676, 80reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
9796recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
9897, 60expp1d 12871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑((𝑃 − 1) + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
9989, 95, 983eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
10099oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10197, 60expcld 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
10283, 101, 97mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
10383, 97mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
104101, 103mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
105102, 104eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
10684, 100, 1053eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
107106adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) = ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
108107oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
10921abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
110109recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
111103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
112101adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
113110, 111, 112mulassd 9942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ((𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)))))
114108, 113eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
115114sumeq2dv 14281 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
116110, 111mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
1177, 101, 116fsummulc1 14359 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
118115, 117eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))))
119118oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))))
1207, 116fsumcl 14311 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
121120, 101, 62, 63divassd 10715 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1))) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
122119, 121eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
12381adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
12476adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
125123, 124remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀) ∈ ℝ)
126109, 125remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1277, 126fsumrecl 14312 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) ∈ ℝ)
128127, 61nndivred 10946 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))) ∈ ℝ)
129122, 128eqeltrrd 2689 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) ∈ ℝ)
130 1red 9934 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13158abscld 14023 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
13261nnrpd 11746 . . . . 5 (𝜑 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℝ+)
13357abscld 14023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1347, 133fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ∈ ℝ)
1357, 57fsumabs 14374 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
13681ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
137 ioombl 23140 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)𝑗) ∈ dom vol
138137a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (0(,)𝑗) ∈ dom vol)
139 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
140 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 0 ≤ 𝑗)
141 volioo 38840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑗) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
142139, 53, 140, 141syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = (𝑗 − 0))
14353, 139resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) ∈ ℝ)
144142, 143eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
145144adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ)
14682adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
147 iblconstmpt 38847 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
148138, 145, 146, 147syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) ∈ 𝐿1)
149136, 148itgrecl 23370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ∈ ℝ)
150109, 149remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
1517, 150fsumrecl 14312 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ∈ ℝ)
15221, 56absmuld 14041 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) = ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)))
15356abscld 14023 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ∈ ℝ)
15421absge0d 14031 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))))
15537abscld 14023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
15637, 55iblabs 23401 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ↦ (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)))) ∈ 𝐿1)
157155, 156itgrecl 23370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
15837, 55itgabs 23407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥)
15927, 36absmuld 14041 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) = ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))))
16027abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ∈ ℝ)
161 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
16236abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16327absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(e↑𝑐-𝑥)))
16436absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
16514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → e ∈ ℝ)
166 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
167 epos 14774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < e
168166, 14, 167ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ e
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ e)
17023renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → -𝑥 ∈ ℝ)
171165, 169, 170recxpcld 24269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
172165, 169, 170cxpge0d 24270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → 0 ≤ (e↑𝑐-𝑥))
173171, 172absidd 14009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0(,)𝑗) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
174173adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) = (e↑𝑐-𝑥))
175171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ∈ ℝ)
176 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
177 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ*)
17953rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ*)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ*)
181 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
182 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
183178, 180, 181, 182syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 < 𝑥)
18423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
185184lt0neg2d 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0 < 𝑥 ↔ -𝑥 < 0))
186183, 185mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 < 0)
18714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → e ∈ ℝ)
188 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 < 2
189 egt2lt3 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 < e ∧ e < 3)
190189simpli 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 < e
191 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
192 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℝ
193191, 192, 14lttri 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e)
194188, 190, 193mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < e
195194a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 1 < e)
196170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → -𝑥 ∈ ℝ)
197 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
198187, 195, 196, 197cxpltd 24265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (-𝑥 < 0 ↔ (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0)))
199186, 198mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < (e↑𝑐0))
200 cxp0 24216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (e ∈ ℂ → (e↑𝑐0) = 1)
20115, 200mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐0) = 1)
202199, 201breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) < 1)
203175, 176, 202ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (e↑𝑐-𝑥) ≤ 1)
204174, 203eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
205204adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(e↑𝑐-𝑥)) ≤ 1)
20628a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ℝ ⊆ ℂ)
20730ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑃 ∈ ℕ)
20847ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
20931, 49eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑃 − 1)) · ∏ ∈ (1...𝑀)((𝑦)↑𝑃)))
21023adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
211206, 207, 208, 209, 210etransclem13 39140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (𝐹𝑥) = ∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
212211fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
213 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
21423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
215 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℝ)
216215adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℝ)
217214, 216resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
218217adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℝ)
21960, 77ifcld 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
220219ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
221218, 220reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
222221recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → ((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℂ)
223213, 208, 222fprodabs 14543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘∏ ∈ (0...𝑀)((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
224 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ∈ (0...𝑀) → ∈ ℕ0)
22524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℂ)
226 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ( ∈ ℕ0 ∈ ℂ)
227226adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → ∈ ℂ)
228225, 227subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
229228adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ ℕ0) → (𝑥) ∈ ℂ)
230224, 229sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
231219ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0)
232230, 231absexpd 14039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
233232prodeq2dv 14492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(abs‘((𝑥)↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
234212, 223, 2333eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
235 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗))
236 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
237224, 228sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℂ)
238237abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
239238adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ∈ ℝ)
240239, 231reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
241237absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
242241adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ (abs‘(𝑥)))
243239, 231, 242expge0d 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
24478ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑃) ∈ ℝ)
24576ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
246245, 231reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ∈ ℝ)
247224, 218sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ∈ ℝ)
24824adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℂ)
249224, 227sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℂ)
250248, 249negsubdi2d 10287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)𝑗) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
251250adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) = (𝑥))
252224adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℕ0)
253252nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ∈ ℝ)
254 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
255210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
256 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( ∈ (0...𝑀) → 𝑀)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑀)
258197, 184, 183ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
259258adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 0 ≤ 𝑥)
260259adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
261253, 254, 245, 255, 257, 260le2subd 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
26283subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 − 0) = 𝑀)
263262ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 − 0) = 𝑀)
264261, 263breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
265251, 264eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -(𝑥) ≤ 𝑀)
266247, 245, 265lenegcon1d 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → -𝑀 ≤ (𝑥))
267 elfzel2 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
268267zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
269268adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑀 ∈ ℝ)
27053adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
271 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0 ∈ ℝ*𝑗 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
272178, 180, 181, 271syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑗)
273 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗𝑀)
274273adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑗𝑀)
275184, 270, 269, 272, 274ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥 < 𝑀)
276184, 269, 275ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
277276adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → 𝑥𝑀)
278277adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑀)
279252nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ )
280255, 254, 245, 253, 278, 279le2subd 10526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ (𝑀 − 0))
281280, 263breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑥) ≤ 𝑀)
282247, 245absled 14017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (-𝑀 ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ 𝑀)))
283266, 281, 282mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)
284 leexp1a 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((abs‘(𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (abs‘(𝑥)) ∧ (abs‘(𝑥)) ≤ 𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
285239, 245, 231, 242, 283, 284syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
28646nnge1d 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
287286ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
288219nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ)
28977nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
290 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
291290adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = (𝑃 − 1))
29230nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
293292lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
294293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 = 0) → (𝑃 − 1) ≤ 𝑃)
295291, 294eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
296 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 = 0 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) = 𝑃)
298292leidd 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑃𝑃)
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → 𝑃𝑃)
300297, 299eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ = 0) → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
301295, 300pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃)
302 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ↔ (if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃) ≤ 𝑃))
303288, 289, 301, 302syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
304303ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))
305245, 287, 304leexp2ad 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → (𝑀↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
306240, 246, 244, 285, 305letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) ∧ ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ (𝑀𝑃))
307235, 236, 240, 243, 244, 306fprodle 14566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃))
30878recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀𝑃) ∈ ℂ)
309 fprodconst 14547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑀𝑃) ∈ ℂ) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(#‘(0...𝑀))))
3107, 308, 309syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(#‘(0...𝑀))))
311 hashfz0 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
31247, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (#‘(0...𝑀)) = (𝑀 + 1))
313312oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀𝑃)↑(#‘(0...𝑀))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
314310, 313eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
315314ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)(𝑀𝑃) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
316307, 315breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ∏ ∈ (0...𝑀)((abs‘(𝑥))↑if( = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
317234, 316eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
318160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317lemul12ad 10845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))))
31982mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
320319ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (1 · ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1))) = ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
321318, 320breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → ((abs‘(e↑𝑐-𝑥)) · (abs‘(𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
322159, 321eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)𝑗)) → (abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
323156, 148, 155, 136, 322itgle 23382 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)(abs‘((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥))) d𝑥 ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
324153, 157, 149, 158, 323letrd 10073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥) ≤ ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥)
325153, 149, 109, 154, 324lemul2ad 10843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (abs‘∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
326152, 325eqbrtrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
3277, 133, 150, 326fsumle 14372 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥))
328 itgconst 23391 . . . . . . . . . . 11 (((0(,)𝑗) ∈ dom vol ∧ (vol‘(0(,)𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
329138, 145, 146, 328syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 = (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))))
33047nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
33176, 77, 330expge0d 12888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑃))
33278, 80, 331expge0d 12888 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
333332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 0 ≤ ((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)))
33418subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (𝑗 − 0) = 𝑗)
335142, 334eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) = 𝑗)
336335, 273eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
337336adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (vol‘(0(,)𝑗)) ≤ 𝑀)
338145, 124, 123, 333, 337lemul2ad 10843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · (vol‘(0(,)𝑗))) ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
339329, 338eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥 ≤ (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀))
340149, 125, 109, 154, 339lemul2ad 10843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
3417, 150, 126, 340fsumle 14372 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · ∫(0(,)𝑗)((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) d𝑥) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
342134, 151, 127, 327, 341letrd 10073 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(abs‘(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
343131, 134, 127, 135, 342letrd 10073 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)))
344131, 127, 132, 343lediv1dd 11806 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (((𝑀𝑃)↑(𝑀 + 1)) · 𝑀)) / (!‘(𝑃 − 1))))
345344, 122breqtrd 4609 . . 3 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) ≤ (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))))
346 etransclem23.lt1 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑃 − 1)) / (!‘(𝑃 − 1)))) < 1)
34775, 129, 130, 345, 346lelttrd 10074 . 2 (𝜑 → ((abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · (𝐹𝑥)) d𝑥)) / (!‘(𝑃 − 1))) < 1)
34870, 347eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (abs‘𝐾) < 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  #chash 12979  abscabs 13822  Σcsu 14264  ∏cprod 14474  eceu 14632   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  volcvol 23039  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  etransclem47  39174
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