Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblabs 23401
 Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
iblabs.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem iblabs
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iblabs.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23340 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 iblabs.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23210 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 eqidd 2611 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
7 absf 13925 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
98feqmptd 6159 . . . 4 (𝜑 → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
10 fveq2 6103 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (abs‘𝑦) = (abs‘𝐵))
115, 6, 9, 10fmptco 6303 . . 3 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)))
12 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
135, 12fmptd 6292 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
14 ax-resscn 9872 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
15 ssid 3587 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
16 cncfss 22510 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
1714, 15, 16mp2an 704 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
18 abscncf 22512 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1917, 18sselii 3565 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21 cncombf 23231 . . . 4 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
223, 13, 20, 21syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (abs ∘ (𝑥𝐴𝐵)) ∈ MblFn)
2311, 22eqeltrrd 2689 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
245abscld 14023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
2524rexrd 9968 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ*)
265absge0d 14031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
27 elxrge0 12152 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
2825, 26, 27sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
29 0e0iccpnf 12154 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
3029a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,]+∞))
3128, 30ifclda 4070 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,]+∞))
33 eqid 2610 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
3432, 33fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
35 reex 9906 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
375recld 13782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
3837recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
4038absge0d 14031 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵)))
41 elrege0 12149 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘𝐵))))
4239, 40, 41sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℜ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
43 0e0icopnf 12153 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
4542, 44ifclda 4070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
475imcld 13783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4847recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4948abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5048absge0d 14031 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵)))
51 elrege0 12149 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘𝐵))))
5249, 50, 51sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ (0[,)+∞))
5352, 44ifclda 4070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
5453adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) ∈ (0[,)+∞))
55 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)))
56 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))
5736, 46, 54, 55, 56offval2 6812 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
58 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℜ‘𝐵)))
59 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
6058, 59oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
61 iftrue 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
6260, 61eqtr4d 2647 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
63 00id 10090 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
64 iffalse 4045 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) = 0)
65 iffalse 4045 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0) = 0)
6664, 65oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (0 + 0))
67 iffalse 4045 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = 0)
6863, 66, 673eqtr4a 2670 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴 → (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
6962, 68pm2.61i 175 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)
7069mpteq2i 4669 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0) + if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
7157, 70syl6req 2661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))))
7271fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
73 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))
745iblcn 23371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
751, 74mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
7675simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
774, 1, 73, 76, 37iblabslem 23400 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
7877simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
7946, 73fmptd 6292 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8077simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
81 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))
8275simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
834, 1, 81, 82, 47iblabslem 23400 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ))
8483simpld 474 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)) ∈ MblFn)
8554, 81fmptd 6292 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8683simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0))) ∈ ℝ)
8778, 79, 80, 84, 85, 86itg2add 23332 . . . . 5 (𝜑 → (∫2‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0)) ∘𝑓 + (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
8872, 87eqtrd 2644 . . . 4 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))))
8980, 86readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℜ‘𝐵)), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐵)), 0)))) ∈ ℝ)
9088, 89eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ)
9139, 49readdcld 9948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ)
9291rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ*)
9339, 49, 40, 50addge0d 10482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
94 elxrge0 12152 . . . . . . . 8 (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵)))))
9592, 93, 94sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) ∈ (0[,]+∞))
9695, 30ifclda 4070 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9796adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) ∈ (0[,]+∞))
98 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
9997, 98fmptd 6292 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
100 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
101 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
102100, 48, 101sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (i · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
10338, 102abstrid 14043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
1045replimd 13785 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 = ((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵))))
105104fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) = (abs‘((ℜ‘𝐵) + (i · (ℑ‘𝐵)))))
106 absmul 13882 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
107100, 48, 106sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))))
108 absi 13874 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘i) = 1
109108oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵)))
11049recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
111110mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
112109, 111syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘𝐵))) = (abs‘(ℑ‘𝐵)))
113107, 112eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) = (abs‘(i · (ℑ‘𝐵))))
114113oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(i · (ℑ‘𝐵)))))
115103, 105, 1143brtr4d 4615 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ≤ ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
116 iftrue 4042 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
117116adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
11861adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0) = ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))))
119115, 117, 1183brtr4d 4615 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
120119ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
121 0le0 10987 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
122121a1i 11 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → 0 ≤ 0)
123 iffalse 4045 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
124122, 123, 673brtr4d 4615 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
125120, 124pm2.61d1 170 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
126125ralrimivw 2950 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))
127 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)))
128 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
12936, 32, 97, 127, 128ofrfval2 6813 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ≤ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
130126, 129mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))
131 itg2le 23312 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
13234, 99, 130, 131syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))))
133 itg2lecl 23311 . . 3 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, ((abs‘(ℜ‘𝐵)) + (abs‘(ℑ‘𝐵))), 0)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
13434, 90, 132, 133syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
13524, 26iblpos 23365 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
13623, 134, 135mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793   ∘𝑟 cofr 6794  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487  MblFncmbf 23189  ∫2citg2 23191  𝐿1cibl 23192 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  iblmulc2  23403  itgabs  23407  bddmulibl  23411  itgcn  23415  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  itgulm  23966  fourierdlem47  39046  fourierdlem87  39086  etransclem23  39150
 Copyright terms: Public domain W3C validator