Theorem iblabs 21311

Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblabs	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 21250	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		iblabs.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 21120	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
7		absf 12830	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> abs : CC --> RR )
9	8	feqmptd 5749	. . . 4 |- ( ph -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
10		fveq2 5696	. . . 4 |- ( y = B -> ( abs ` y ) = ( abs ` B ) )
11	5, 6, 9, 10	fmptco 5881	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) )
12		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
13	5, 12	fmptd 5872	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
14		ax-resscn 9344	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
15		ssid 3380	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
16		cncfss 20480	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
17	14, 15, 16	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
18		abscncf 20482	. . . . . 6 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
19	17, 18	sselii 3358	. . . . 5 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
21		cncombf 21141	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
22	3, 13, 20, 21	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
23	11, 22	eqeltrrd 2518	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
24	5	abscld 12927	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
25	24	rexrd 9438	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
26	5	absge0d 12935	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
27		elxrge0 11399	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
28	25, 26, 27	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
29		0e0iccpnf 11401	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
31	28, 30	ifclda 3826	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32	31	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33		eqid 2443	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
34	32, 33	fmptd 5872	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
35		reex 9378	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
37	5	recld 12688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
38	37	recnd 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
39	38	abscld 12927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR )
40	38	absge0d 12935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) )
41		elrege0 11397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) )
42	39, 40, 41	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
43		0e0icopnf 11400	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
45	42, 44	ifclda 3826	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
46	45	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
47	5	imcld 12689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
48	47	recnd 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
49	48	abscld 12927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
50	48	absge0d 12935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) )
51		elrege0 11397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
52	49, 50, 51	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
53	52, 44	ifclda 3826	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
55		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) )
56		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) )
57	36, 46, 54, 55, 56	offval2 6341	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
58		iftrue 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) )
59		iftrue 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
60	58, 59	oveq12d 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
61		iftrue 3802	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
62	60, 61	eqtr4d 2478	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
63		00id 9549	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 0 ) = 0
64		iffalse 3804	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 )
65		iffalse 3804	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 )
66	64, 65	oveq12d 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
67		iffalse 3804	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 )
68	63, 66, 67	3eqtr4a 2501	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
69	62, 68	pm2.61i 164	. . . . . . . 8 |- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 )
70	69	mpteq2i 4380	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
71	57, 70	syl6req 2492	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
72	71	fveq2d 5700	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
73		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) )
74	5	iblcn 21281	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
75	1, 74	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
76	75	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
77	4, 1, 73, 76, 37	iblabslem 21310	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
78	77	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
79	46, 73	fmptd 5872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
80	77	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) )
82	75	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
83	4, 1, 81, 82, 47	iblabslem 21310	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
84	83	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
85	54, 81	fmptd 5872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
86	83	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
87	78, 79, 80, 84, 85, 86	itg2add 21242	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
88	72, 87	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
89	80, 86	readdcld 9418	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
90	88, 89	eqeltrd 2517	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
91	39, 49	readdcld 9418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR )
92	91	rexrd 9438	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* )
93	39, 49, 40, 50	addge0d 9920	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
94		elxrge0 11399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) )
95	92, 93, 94	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	95, 30	ifclda 3826	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	96	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
99	97, 98	fmptd 5872	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
100		ax-icn 9346	. . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
101		mulcl 9371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
102	100, 48, 101	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
103	38, 102	abstrid 12947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
104	5	replimd 12691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
105	104	fveq2d 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
106		absmul 12788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
107	100, 48, 106	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
108		absi 12780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` _i ) = 1
109	108	oveq1i 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) )
110	49	recnd 9417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC )
111	110	mulid2d 9409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
112	109, 111	syl5eq 2487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
113	107, 112	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
114	113	oveq2d 6112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
115	103, 105, 114	3brtr4d 4327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
116		iftrue 3802	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
117	116	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
118	61	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
119	115, 117, 118	3brtr4d 4327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
120	119	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
121		0le0 10416	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
123		iffalse 3804	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
124	122, 123, 67	3brtr4d 4327	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
125	120, 124	pm2.61d1 159	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
126	125	ralrimivw 2805	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
127		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
128		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
129	36, 32, 97, 127, 128	ofrfval2 6342	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
130	126, 129	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
131		itg2le 21222	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
132	34, 99, 130, 131	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
133		itg2lecl 21221	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
134	34, 90, 132, 133	syl3anc 1218	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
135	24, 26	iblpos 21275	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
136	23, 134, 135	mpbir2and 913	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   e. cmpt 4355   o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   oFcof 6323   oRcofr 6324   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   _ici 9289   + caddc 9290   x. cmul 9292   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422   <_ cle 9424   [,)cico 11307   [,]cicc 11308   Recre 12591   Imcim 12592   abscabs 12728   -cn->ccncf 20457  MblFncmbf 21099   S.2citg2 21101   L^1cibl 21102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-0p 21153

This theorem is referenced by:  iblmulc2  21313  itgabs  21317  bddmulibl  21321  itgcn  21325  ftc1a  21514  ftc1lem4  21516  itgulm  21878