Theorem iblabs 19673

Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L ^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblabs	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L ^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L ^1 )
2		iblmbf 19612	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L ^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		iblabs.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 19482	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6		eqidd 2405	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
7		absf 12096	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> abs : CC --> RR )
9	8	feqmptd 5738	. . . 4 |- ( ph -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
10		fveq2 5687	. . . 4 |- ( y = B -> ( abs ` y ) = ( abs ` B ) )
11	5, 6, 9, 10	fmptco 5860	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) )
12		eqid 2404	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
13	5, 12	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
14		ax-resscn 9003	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
15		ssid 3327	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
16		cncfss 18882	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
17	14, 15, 16	mp2an 654	. . . . . 6 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
18		abscncf 18884	. . . . . 6 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
19	17, 18	sselii 3305	. . . . 5 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
21		cncombf 19503	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
22	3, 13, 20, 21	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
23	11, 22	eqeltrrd 2479	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
24	5	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
25	24	rexrd 9090	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
26	5	absge0d 12201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
27		elxrge0 10964	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
28	25, 26, 27	sylanbrc 646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
29		0xr 9087	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
30		0le0 10037	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
31		elxrge0 10964	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( 0 e. RR* /\ 0 <_ 0 ) )
32	29, 30, 31	mpbir2an 887	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
33	32	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
34	28, 33	ifclda 3726	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
35	34	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
36		eqid 2404	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
37	35, 36	fmptd 5852	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
38		reex 9037	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
40	5	recld 11954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
41	40	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
42	41	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR )
43	41	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) )
44		elrege0 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) )
45	42, 43, 44	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
46		0re 9047	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
47		elrege0 10963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( 0 e. RR /\ 0 <_ 0 ) )
48	46, 30, 47	mpbir2an 887	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
50	45, 49	ifclda 3726	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
51	50	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
52	5	imcld 11955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
53	52	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
54	53	abscld 12193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
55	53	absge0d 12201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) )
56		elrege0 10963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
57	54, 55, 56	sylanbrc 646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
58	57, 49	ifclda 3726	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
59	58	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
60		eqidd 2405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) )
61		eqidd 2405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) )
62	39, 51, 59, 60, 61	offval2 6281	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) o F + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
63		iftrue 3705	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) )
64		iftrue 3705	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
65	63, 64	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
66		iftrue 3705	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
67	65, 66	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
68		00id 9197	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 0 ) = 0
69		iffalse 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 )
70		iffalse 3706	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 )
71	69, 70	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
72		iffalse 3706	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 )
73	68, 71, 72	3eqtr4a 2462	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
74	67, 73	pm2.61i 158	. . . . . . . 8 |- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 )
75	74	mpteq2i 4252	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
76	62, 75	syl6req 2453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) o F + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
77	76	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) o F + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
78		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) )
79	5	iblcn 19643	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L ^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L ^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L ^1 ) ) )
80	1, 79	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L ^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L ^1 ) )
81	80	simpld 446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L ^1 )
82	4, 1, 78, 81, 40	iblabslem 19672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
83	82	simpld 446	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
84	51, 78	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
85	82	simprd 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
86		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) )
87	80	simprd 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L ^1 )
88	4, 1, 86, 87, 52	iblabslem 19672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
89	88	simpld 446	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
90	59, 86	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
91	88	simprd 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
92	83, 84, 85, 89, 90, 91	itg2add 19604	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) o F + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
93	77, 92	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
94	85, 91	readdcld 9071	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
95	93, 94	eqeltrd 2478	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
96	42, 54	readdcld 9071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR )
97	96	rexrd 9090	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* )
98	42, 54, 43, 55	addge0d 9558	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
99		elxrge0 10964	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) )
100	97, 98, 99	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
101	100, 33	ifclda 3726	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
102	101	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
103		eqid 2404	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
104	102, 103	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
105		ax-icn 9005	. . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
106		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
107	105, 53, 106	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
108	41, 107	abstrid 12213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
109	5	replimd 11957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
110	109	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
111		absmul 12054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
112	105, 53, 111	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
113		absi 12046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` _i ) = 1
114	113	oveq1i 6050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) )
115	54	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC )
116	115	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
117	114, 116	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
118	112, 117	eqtr2d 2437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
119	118	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
120	108, 110, 119	3brtr4d 4202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
121		iftrue 3705	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
122	121	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
123	66	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
124	120, 122, 123	3brtr4d 4202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
125	124	ex 424	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
126	30	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
127		iffalse 3706	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
128	126, 127, 72	3brtr4d 4202	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
129	125, 128	pm2.61d1 153	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
130	129	ralrimivw 2750	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
131		eqidd 2405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
132		eqidd 2405	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
133	39, 35, 102, 131, 132	ofrfval2 6282	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) o R <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
134	130, 133	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) o R <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
135		itg2le 19584	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) o R <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
136	37, 104, 134, 135	syl3anc 1184	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
137		itg2lecl 19583	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
138	37, 95, 136, 137	syl3anc 1184	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
139	24, 26	iblpos 19637	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L ^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
140	23, 138, 139	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L ^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   o Rcofr 6263   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   <_ cle 9077   [,)cico 10874   [,]cicc 10875   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   -cn->ccncf 18859  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462

This theorem is referenced by:  iblmulc2  19675  itgabs  19679  bddmulibl  19683  itgcn  19687  ftc1a  19874  ftc1lem4  19876  itgulm  20277

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-0p 19515