Theorem iblabs 22213

Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblabs.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
iblabs.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
iblabs	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem iblabs

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblabs.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 22152	. . . . . 6 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		iblabs.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 22022	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6		eqidd 2444	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
7		absf 13152	. . . . . 6 |- abs : CC --> RR
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> abs : CC --> RR )
9	8	feqmptd 5911	. . . 4 |- ( ph -> abs = ( y e. CC |-> ( abs ` y ) ) )
10		fveq2 5856	. . . 4 |- ( y = B -> ( abs ` y ) = ( abs ` B ) )
11	5, 6, 9, 10	fmptco 6049	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) )
12		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
13	5, 12	fmptd 6040	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
14		ax-resscn 9552	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
15		ssid 3508	. . . . . . 7 |- CC C_ CC
16		cncfss 21381	. . . . . . 7 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC ) )
17	14, 15, 16	mp2an 672	. . . . . 6 |- ( CC -cn-> RR ) C_ ( CC -cn-> CC )
18		abscncf 21383	. . . . . 6 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
19	17, 18	sselii 3486	. . . . 5 |- abs e. ( CC -cn-> CC )
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> abs e. ( CC -cn-> CC ) )
21		cncombf 22043	. . . 4 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> CC /\ abs e. ( CC -cn-> CC ) ) -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
22	3, 13, 20, 21	syl3anc 1229	. . 3 |- ( ph -> ( abs o. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
23	11, 22	eqeltrrd 2532	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
24	5	abscld 13249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
25	24	rexrd 9646	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR* )
26	5	absge0d 13257	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
27		elxrge0 11640	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR* /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
28	25, 26, 27	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
29		0e0iccpnf 11642	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
30	29	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
31	28, 30	ifclda 3958	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32	31	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33		eqid 2443	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
34	32, 33	fmptd 6040	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
35		reex 9586	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR e. _V )
37	5	recld 13009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
38	37	recnd 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC )
39	38	abscld 13249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR )
40	38	absge0d 13257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) )
41		elrege0 11638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Re ` B ) ) ) )
42	39, 40, 41	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Re ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
43		0e0icopnf 11641	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
45	42, 44	ifclda 3958	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
46	45	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
47	5	imcld 13010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
48	47	recnd 9625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC )
49	48	abscld 13249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
50	48	absge0d 13257	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) )
51		elrege0 11638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
52	49, 50, 51	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
53	52, 44	ifclda 3958	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
54	53	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
55		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) )
56		eqidd 2444	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) )
57	36, 46, 54, 55, 56	offval2 6541	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
58		iftrue 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Re ` B ) ) )
59		iftrue 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
60	58, 59	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
61		iftrue 3932	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
62	60, 61	eqtr4d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
63		00id 9758	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + 0 ) = 0
64		iffalse 3935	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) = 0 )
65		iffalse 3935	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) = 0 )
66	64, 65	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( 0 + 0 ) )
67		iffalse 3935	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = 0 )
68	63, 66, 67	3eqtr4a 2510	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. A -> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
69	62, 68	pm2.61i 164	. . . . . . . 8 |- ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 )
70	69	mpteq2i 4520	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> ( if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) + if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
71	57, 70	syl6req 2501	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) )
72	71	fveq2d 5860	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
73		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) )
74	5	iblcn 22183	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
75	1, 74	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
76	75	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
77	4, 1, 73, 76, 37	iblabslem 22212	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
78	77	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
79	46, 73	fmptd 6040	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
80	77	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
81		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) )
82	75	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
83	4, 1, 81, 82, 47	iblabslem 22212	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
84	83	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) e. MblFn )
85	54, 81	fmptd 6040	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
86	83	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
87	78, 79, 80, 84, 85, 86	itg2add 22144	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) oF + ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
88	72, 87	eqtrd 2484	. . . 4 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) )
89	80, 86	readdcld 9626	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Re ` B ) ) , 0 ) ) ) + ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` ( Im ` B ) ) , 0 ) ) ) ) e. RR )
90	88, 89	eqeltrd 2531	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR )
91	39, 49	readdcld 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR )
92	91	rexrd 9646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* )
93	39, 49, 40, 50	addge0d 10135	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
94		elxrge0 11640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) ) )
95	92, 93, 94	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
96	95, 30	ifclda 3958	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
97	96	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
98		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
99	97, 98	fmptd 6040	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
100		ax-icn 9554	. . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
101		mulcl 9579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
102	100, 48, 101	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
103	38, 102	abstrid 13269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
104	5	replimd 13012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
105	104	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) = ( abs ` ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
106		absmul 13109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
107	100, 48, 106	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
108		absi 13101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` _i ) = 1
109	108	oveq1i 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) )
110	49	recnd 9625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. CC )
111	110	mulid2d 9617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 1 x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
112	109, 111	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( abs ` ( Im ` B ) ) )
113	107, 112	eqtr2d 2485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) = ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
114	113	oveq2d 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) )
115	103, 105, 114	3brtr4d 4467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
116		iftrue 3932	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
117	116	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
118	61	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) = ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) )
119	115, 117, 118	3brtr4d 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
120	119	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
121		0le0 10632	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> 0 <_ 0 )
123		iffalse 3935	. . . . . . . 8 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
124	122, 123, 67	3brtr4d 4467	. . . . . . 7 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
125	120, 124	pm2.61d1 159	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
126	125	ralrimivw 2858	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) )
127		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) )
128		eqidd 2444	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
129	36, 32, 97, 127, 128	ofrfval2 6542	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) <_ if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
130	126, 129	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) )
131		itg2le 22124	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
132	34, 99, 130, 131	syl3anc 1229	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) )
133		itg2lecl 22123	. . 3 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( ( abs ` ( Re ` B ) ) + ( abs ` ( Im ` B ) ) ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
134	34, 90, 132, 133	syl3anc 1229	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
135	24, 26	iblpos 22177	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
136	23, 134, 135	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   oFcof 6523   oRcofr 6524   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497   + caddc 9498   x. cmul 9500   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   <_ cle 9632   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   Recre 12912   Imcim 12913   abscabs 13049   -cn->ccncf 21358  MblFncmbf 22001   S.2citg2 22003   L^1cibl 22004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-ibl 22009  df-0p 22055

This theorem is referenced by:  iblmulc2  22215  itgabs  22219  bddmulibl  22223  itgcn  22227  ftc1a  22416  ftc1lem4  22418  itgulm  22781  fourierdlem47  31890  fourierdlem87  31930  etransclem23  31994