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Theorem ftc1a 23604
 Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function 𝐺 formed by varying the right endpoint of an integral of 𝐹 is continuous if 𝐹 is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1a (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 𝑟 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1a.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 23603 . 2 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10 fvex 6113 . . . . . . . 8 (𝐹𝑤) ∈ V
1110a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐷) → (𝐹𝑤) ∈ V)
128feqmptd 6159 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)))
1312, 7eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐷 ↦ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐿1)
15 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1611, 14, 15itgcn 23415 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
17 oveq12 6558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (𝑠𝑟) = (𝑧𝑦))
1817fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
1918breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑))
20 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
21 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑦))
2220, 21oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)))
2322fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))))
2423breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
2519, 24imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑧𝑟 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
2625ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑦𝑠 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
27 oveq12 6558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (𝑠𝑟) = (𝑦𝑧))
2827fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘(𝑠𝑟)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
2928breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
30 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑦 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑦))
31 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑧 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑧))
3230, 31oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟)) = ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧)))
3332fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
3433breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → ((abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
3529, 34imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 = 𝑦𝑟 = 𝑧) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
3635ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑟 = 𝑧𝑠 = 𝑦) → (((abs‘(𝑠𝑟)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑠) − (𝐺𝑟))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
37 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
382, 3, 37syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
3938ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4038ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4240, 41sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ)
4342recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑧 ∈ ℂ)
44 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4540, 44sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
4645recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
4743, 46abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4847breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑))
499ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
5049, 41ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5149, 44ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51abssubd 14040 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))))
5352breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒))
5448, 53imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑧))) < 𝑒)))
55 simpr3 1062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
562adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
573adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴𝐵)
595adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
606adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
617adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
628adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
63 simpr1 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64 simpr2 1061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
651, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64ftc1lem1 23602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6655, 65mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6766adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6867ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦)) = ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡)
6968fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) = (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡))
70 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑡) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
722ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7372rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
74 simprl1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
753ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ)
76 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7772, 75, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
7874, 77mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
7978simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐴𝑦)
80 iooss1 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑦) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
8173, 79, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
8275rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83 simprl2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8572, 75, 84syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8683, 85mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8786simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧𝐵)
88 iooss2 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑧𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
8982, 87, 88syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
9081, 89sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
915ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
9290, 91sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷)
93 ioombl 23140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol)
9570a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
968feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
9796, 7eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9897ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
9992, 94, 95, 98iblss 23377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
10071, 99itgcl 23356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
101100abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ∈ ℝ)
102 iblmbf 23340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1 → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
104103, 71mbfmptcl 23210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
105104abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧)) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
10671, 99iblabs 23401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑡 ∈ (𝑦(,)𝑧) ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
107105, 106itgrecl 23370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 ∈ ℝ)
108 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
109108ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
110109rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑒 ∈ ℝ)
11171, 99itgabs 23407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) ≤ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
112 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒))
113 mblvol 23105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧)))
11493, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (vol‘(𝑦(,)𝑧)) = (vol*‘(𝑦(,)𝑧))
115 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ
116 ovolcl 23053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦(,)𝑧) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ∈ ℝ*)
11886simp1d 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑧 ∈ ℝ)
11978simp1d 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
120118, 119resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
121120rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ*)
122 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
123122ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
124123rpxrd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ*)
125 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
126 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
127119, 118, 126syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
128 ovolss 23060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦(,)𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) ∧ (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
129125, 127, 128sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)))
130 simprl3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → 𝑦𝑧)
131 ovolicc 23098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
132119, 118, 130, 131syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
133129, 132breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) ≤ (𝑧𝑦))
134119, 118, 130abssubge0d 14018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
135 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)
136134, 135eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (𝑧𝑦) < 𝑑)
137117, 121, 124, 133, 136xrlelttrd 11867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol*‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
138114, 137syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)
13992, 138jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
140 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (𝑢𝐷 ↔ (𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷))
141 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (vol‘𝑢) = (vol‘(𝑦(,)𝑧)))
142141breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑))
143140, 142anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) ↔ ((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑)))
144 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑡 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑡))
145144fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑡 → (abs‘(𝐹𝑤)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
146145cbvitgv 23349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡
147 itgeq1 23345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
148146, 147syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 = ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡)
149148breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒 ↔ ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒))
150143, 149imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (𝑦(,)𝑧) → (((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) ↔ (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
151150rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦(,)𝑧) ∈ dom vol → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → (((𝑦(,)𝑧) ⊆ 𝐷 ∧ (vol‘(𝑦(,)𝑧)) < 𝑑) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)))
15294, 112, 139, 151syl3c 64 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → ∫(𝑦(,)𝑧)(abs‘(𝐹𝑡)) d𝑡 < 𝑒)
153101, 107, 110, 111, 152lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘∫(𝑦(,)𝑧)(𝐹𝑡) d𝑡) < 𝑒)
15469, 153eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ ((𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧) ∧ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑)) → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)
155154expr 641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
15626, 36, 39, 54, 155wlogle 10440 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
157156ralrimivva 2954 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
158157ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
159158anassrs 678 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
160159reximdva 3000 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐷 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘(𝐹𝑤)) d𝑤 < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒)))
16116, 160mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
162 r19.12 3045 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
163161, 162syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
164163ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
165 ralcom 3079 . . 3 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
166164, 165sylib 207 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))
167 ax-resscn 9872 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
16838, 167syl6ss 3580 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
169 ssid 3587 . . 3 ℂ ⊆ ℂ
170 elcncf2 22501 . . 3 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
171168, 169, 170sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) ↔ (𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐺𝑧) − (𝐺𝑦))) < 𝑒))))
1729, 166, 171mpbir2and 959 1 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  abscabs 13822  –cn→ccncf 22487  vol*covol 23038  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  ftc2  23611
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