MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossicc 12130
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12050 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 df-icc 12053 . 2 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
3 xrltle 11858 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 xrltle 11858 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12060 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3540  (class class class)co 6549   < clt 9953  cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-icc 12053
This theorem is referenced by:  ioodisj  12173  iccntr  22432  ivth2  23031  ivthle  23032  ivthle2  23033  ovolioo  23143  uniiccvol  23154  itgioo  23388  rollelem  23556  rolle  23557  cmvth  23558  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dvlip2  23562  c1liplem1  23563  dvle  23574  dvivthlem1  23575  dvne0  23578  lhop1lem  23580  dvcnvrelem1  23584  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumabs  23590  dvfsumlem2  23594  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  ftc1lem5  23607  ftc1lem6  23608  ftc1  23609  ftc2  23611  itgparts  23614  itgsubstlem  23615  itgsubst  23616  reeff1olem  24004  efcvx  24007  tanord1  24087  logccv  24209  loglesqrt  24299  chordthm  24364  amgmlem  24516  lgamgulmlem2  24556  eliccioo  28970  xrge0mulc1cn  29315  omssubadd  29689  ivthALT  31500  itg2gt0cn  32635  ftc1cnnclem  32653  ftc1cnnc  32654  ftc2nc  32664  areacirc  32675  itgpowd  36819  lhe4.4ex1a  37550  chordthmALT  38191  iccnct  38615  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  icccncfext  38773  cncfiooicclem1  38779  cncfioobdlem  38782  cncfioobd  38783  itgsin0pilem1  38841  iblioosinexp  38844  itgsinexplem1  38845  itgsinexp  38846  ditgeqiooicc  38852  itgcoscmulx  38861  ibliooicc  38863  itgsincmulx  38866  itgsubsticclem  38867  itgioocnicc  38869  iblcncfioo  38870  itgsbtaddcnst  38874  dirkeritg  38995  fourierdlem20  39020  fourierdlem38  39038  fourierdlem39  39039  fourierdlem46  39045  fourierdlem62  39061  fourierdlem68  39067  fourierdlem69  39068  fourierdlem70  39069  fourierdlem72  39071  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem80  39079  fourierdlem81  39080  fourierdlem82  39081  fourierdlem83  39082  fourierdlem84  39083  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem92  39091  fourierdlem93  39092  fourierdlem100  39099  fourierdlem101  39100  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  etransclem18  39145  etransclem46  39173  hoicvrrex  39446
  Copyright terms: Public domain W3C validator