MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1a Structured version   Unicode version

Theorem ftc1a 21409
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function  G formed by varying the right endpoint of an integral of  F is continuous if  F is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1a  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables  s  u  w  y  z 
r  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1a.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 21408 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  w  e.  D )  ->  ( F `  w )  e.  _V )
128feqmptd 5741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) ) )
1312, 7eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `  w
) )  e.  L^1 )
1413adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) )  e.  L^1 )
15 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1611, 14, 15itgcn 21220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  D  /\  ( vol `  u )  < 
d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
17 oveq12 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( s  -  r
)  =  ( z  -  y ) )
1817fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
1918breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )
20 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
21 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  y  ->  ( G `  r )  =  ( G `  y ) )
2220, 21oveqan12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  z )  -  ( G `  y ) ) )
2322fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) ) )
2423breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) )  <  e
) )
2519, 24imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
2625ancoms 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  y  /\  s  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
27 oveq12 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( s  -  r
)  =  ( y  -  z ) )
2827fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
2928breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
30 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  y  ->  ( G `  s )  =  ( G `  y ) )
31 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  z  ->  ( G `  r )  =  ( G `  z ) )
3230, 31oveqan12d 6109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) )
3332fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) ) )
3433breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
3529, 34imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
3635ancoms 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  z  /\  s  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
37 iccssre 11373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
382, 3, 37syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3938ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
4038ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
41 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
4240, 41sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  RR )
4342recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  CC )
44 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
4540, 44sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  CC )
4743, 46abssubd 12935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
4847breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
499ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
5049, 41ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
5149, 44ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5250, 51abssubd 12935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) ) )
5352breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
5448, 53imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
55 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  <_  z )
562adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  e.  RR )
573adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  B  e.  RR )
584adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  <_  B )
595adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
606adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  D  C_  RR )
617adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F  e.  L^1 )
628adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F : D --> CC )
63 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
64 simpr2 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
651, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64ftc1lem1 21407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  z )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  y )
)  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t )
6655, 65mpdan 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6766adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6867ad2ant2r 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6968fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t ) )
70 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
722ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR )
7372rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR* )
74 simprl1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
753ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR )
76 elicc2 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
7874, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
7978simp2d 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  <_  y )
80 iooss1 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  y )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8173, 79, 80syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8275rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR* )
83 simprl2 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
84 elicc2 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  <-> 
( z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) ) )
8572, 75, 84syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  <->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) )
8786simp3d 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  <_  B )
88 iooss2 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
8982, 87, 88syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
9081, 89sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) B ) )
915ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
9290, 91sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  D )
93 ioombl 20946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z )  e.  dom  vol )
9570a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
968feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
9796, 7eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
9897ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  D  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
9992, 94, 95, 98iblss 21182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
10071, 99itgcl 21161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
101100abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  e.  RR )
102 iblmbf 21145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 
->  ( t  e.  ( y (,) z ) 
|->  ( F `  t
) )  e. MblFn )
10399, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e. MblFn )
104103, 71mbfmptcl 21015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
105104abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR )
10671, 99iblabs 21206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 )
107105, 106itgrecl 21175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  e.  RR )
108 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
109108ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR+ )
110109rpred 11023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR )
11171, 99itgabs 21212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  <_  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t )
112 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
113 mblvol 20913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  =  ( vol* `  ( y (,) z
) ) )
11493, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  ( y (,) z
) )  =  ( vol* `  (
y (,) z ) )
115 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y (,) z )  C_  RR
116 ovolcl 20861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y (,) z ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  e. 
RR* )
117115, 116mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  e.  RR* )
11886simp1d 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  RR )
11978simp1d 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  RR )
120118, 119resubcld 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR )
121120rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR* )
122 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  d  e.  RR+ )
123122ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR+ )
124123rpxrd 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR* )
125 ioossicc 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y (,) z )  C_  ( y [,] z
)
126 iccssre 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
127119, 118, 126syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y [,] z ) 
C_  RR )
128 ovolss 20868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y (,) z
)  C_  ( y [,] z )  /\  (
y [,] z ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y (,) z
) )  <_  ( vol* `  ( y [,] z ) ) )
129125, 127, 128sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <_  ( vol* `  ( y [,] z
) ) )
130 simprl3 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  <_  z )
131 ovolicc 20906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
132119, 118, 130, 131syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
133129, 132breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <_  ( z  -  y ) )
134119, 118, 130abssubge0d 12914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
135 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
d )
136134, 135eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  <  d )
137117, 121, 124, 133, 136xrlelttrd 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <  d )
138114, 137syl5eqbr 4322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  < 
d )
13992, 138jca 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) )
140 sseq1 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
u  C_  D  <->  ( y (,) z )  C_  D
) )
141 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( vol `  u )  =  ( vol `  (
y (,) z ) ) )
142141breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  ( y (,) z
) )  <  d
) )
143140, 142anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  <->  ( ( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) ) )
144 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  t  ->  ( F `  w )  =  ( F `  t ) )
145144fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  t  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
146145cbvitgv 21154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. u
( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. u ( abs `  ( F `  t
) )  _d t
147 itgeq1 21150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
148146, 147syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
149148breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e  <->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t  <  e ) )
150143, 149imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  <->  ( (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e ) ) )
151150rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  -> 
( ( ( y (,) z )  C_  D  /\  ( vol `  (
y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `
 t ) )  _d t  <  e
) ) )
15294, 112, 139, 151syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e )
153101, 107, 110, 111, 152lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  < 
e )
15469, 153eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
)
155154expr 612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
15626, 36, 39, 54, 155wlogle 9869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
157156ralrimivva 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
158157ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
159158anassrs 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
160159reximdva 2826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
16116, 160mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
162 r19.12 2828 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
163161, 162syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
164163ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B ) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
165 ralcom 2879 . . 3  |-  ( A. e  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
166164, 165sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
167 ax-resscn 9335 . . . 4  |-  RR  C_  CC
16838, 167syl6ss 3365 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
169 ssid 3372 . . 3  |-  CC  C_  CC
170 elcncf2 20366 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
171168, 169, 170sylancl 657 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
1729, 166, 171mpbir2and 908 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   abscabs 12719   -cn->ccncf 20352   vol*covol 20846   volcvol 20847  MblFncmbf 20994   L^1cibl 20997   S.citg 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048
This theorem is referenced by:  ftc2  21416
  Copyright terms: Public domain W3C validator