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Theorem ftc1a 22523
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function  G formed by varying the right endpoint of an integral of  F is continuous if  F is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1a  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1a
Dummy variables  s  u  w  y  z 
r  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1a.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 22522 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10 fvex 5784 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  w  e.  D )  ->  ( F `  w )  e.  _V )
128feqmptd 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) ) )
1312, 7eqeltrrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `  w
) )  e.  L^1 )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( w  e.  D  |->  ( F `
 w ) )  e.  L^1 )
15 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  e  e.  RR+ )
1611, 14, 15itgcn 22334 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( u 
C_  D  /\  ( vol `  u )  < 
d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
17 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( s  -  r
)  =  ( z  -  y ) )
1817fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
1918breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )
20 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
21 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  y  ->  ( G `  r )  =  ( G `  y ) )
2220, 21oveqan12d 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  z )  -  ( G `  y ) ) )
2322fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) ) )
2423breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  z )  -  ( G `  y )
) )  <  e
) )
2519, 24imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  z  /\  r  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
2625ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  y  /\  s  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
27 oveq12 6205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( s  -  r
)  =  ( y  -  z ) )
2827fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
s  -  r ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
2928breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
s  -  r ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
30 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  y  ->  ( G `  s )  =  ( G `  y ) )
31 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  z  ->  ( G `  r )  =  ( G `  z ) )
3230, 31oveqan12d 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( G `  s )  -  ( G `  r )
)  =  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) )
3332fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) ) )
3433breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
3529, 34imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  y  /\  r  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
3635ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( r  =  z  /\  s  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( s  -  r
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  s
)  -  ( G `
 r ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
37 iccssre 11527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
382, 3, 37syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
3938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
4038ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
41 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
4240, 41sseldd 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  RR )
4342recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  z  e.  CC )
44 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
4540, 44sseldd 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  RR )
4645recnd 9533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  y  e.  CC )
4743, 46abssubd 13286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
4847breq1d 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  d
) )
499ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
5049, 41ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  CC )
5149, 44ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5250, 51abssubd 13286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z ) ) ) )
5352breq1d 4377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( G `  y )  -  ( G `  z )
) )  <  e
) )
5448, 53imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  y
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  e ) ) )
55 simpr3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  <_  z )
562adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  e.  RR )
573adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  B  e.  RR )
584adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  A  <_  B )
595adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
606adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  D  C_  RR )
617adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F  e.  L^1 )
628adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  F : D --> CC )
63 simpr1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
64 simpr2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
651, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64ftc1lem1 22521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  z )  -> 
( ( G `  z )  -  ( G `  y )
)  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t )
6655, 65mpdan 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6766adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6867ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) )  =  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )
6968fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  =  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t
)  _d t ) )
70 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
722ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR )
7372rexrd 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  e.  RR* )
74 simprl1 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
753ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR )
76 elicc2 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
7772, 75, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  ( A [,] B )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
7874, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) )
7978simp2d 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A  <_  y )
80 iooss1 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  y )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8173, 79, 80syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) z ) )
8275rexrd 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  B  e.  RR* )
83 simprl2 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
84 elicc2 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  <-> 
( z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) ) )
8572, 75, 84syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  <->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) ) )
8683, 85mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) )
8786simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  <_  B )
88 iooss2 11486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  z  <_  B )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
8982, 87, 88syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) z )  C_  ( A (,) B ) )
9081, 89sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  ( A (,) B ) )
915ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
9290, 91sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z ) 
C_  D )
93 ioombl 22060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y (,) z )  e. 
dom  vol
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y (,) z )  e.  dom  vol )
9570a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
968feqmptd 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
9796, 7eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
9897ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  D  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
9992, 94, 95, 98iblss 22296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
10071, 99itgcl 22275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
101100abscld 13269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  e.  RR )
102 iblmbf 22259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 
->  ( t  e.  ( y (,) z ) 
|->  ( F `  t
) )  e. MblFn )
10399, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( F `  t ) )  e. MblFn )
104103, 71mbfmptcl 22129 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
105104abscld 13269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  /\  t  e.  ( y (,) z
) )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR )
10671, 99iblabs 22320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
t  e.  ( y (,) z )  |->  ( abs `  ( F `
 t ) ) )  e.  L^1 )
107105, 106itgrecl 22289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  e.  RR )
108 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR+ )
110109rpred 11177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  e  e.  RR )
11171, 99itgabs 22326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  <_  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t )
112 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )
113 mblvol 22026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  =  ( vol* `  ( y (,) z
) ) )
11493, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( vol `  ( y (,) z
) )  =  ( vol* `  (
y (,) z ) )
115 ioossre 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y (,) z )  C_  RR
116 ovolcl 21974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y (,) z ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  e. 
RR* )
117115, 116mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  e.  RR* )
11886simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  z  e.  RR )
11978simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  e.  RR )
120118, 119resubcld 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR )
121120rexrd 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  e.  RR* )
122 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  d  e.  RR+ )
123122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR+ )
124123rpxrd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  d  e.  RR* )
125 ioossicc 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y (,) z )  C_  ( y [,] z
)
126 iccssre 11527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
127119, 118, 126syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
y [,] z ) 
C_  RR )
128 ovolss 21981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y (,) z
)  C_  ( y [,] z )  /\  (
y [,] z ) 
C_  RR )  -> 
( vol* `  ( y (,) z
) )  <_  ( vol* `  ( y [,] z ) ) )
129125, 127, 128sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <_  ( vol* `  ( y [,] z
) ) )
130 simprl3 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  y  <_  z )
131 ovolicc 22019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
132119, 118, 130, 131syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
133129, 132breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <_  ( z  -  y ) )
134119, 118, 130abssubge0d 13265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
135 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
d )
136134, 135eqbrtrrd 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
z  -  y )  <  d )
137117, 121, 124, 133, 136xrlelttrd 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol* `  ( y (,) z ) )  <  d )
138114, 137syl5eqbr 4400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( vol `  ( y (,) z ) )  < 
d )
13992, 138jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) )
140 sseq1 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
u  C_  D  <->  ( y (,) z )  C_  D
) )
141 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( vol `  u )  =  ( vol `  (
y (,) z ) ) )
142141breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  ( y (,) z
) )  <  d
) )
143140, 142anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  <->  ( ( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d ) ) )
144 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  t  ->  ( F `  w )  =  ( F `  t ) )
145144fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  t  ->  ( abs `  ( F `  w ) )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
146145cbvitgv 22268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  S. u
( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. u ( abs `  ( F `  t
) )  _d t
147 itgeq1 22264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
148146, 147syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  =  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t )
149148breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  ( S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e  <->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `  t
) )  _d t  <  e ) )
150143, 149imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( y (,) z )  ->  (
( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  <->  ( (
( y (,) z
)  C_  D  /\  ( vol `  ( y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e ) ) )
151150rspcv 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y (,) z )  e.  dom  vol  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  -> 
( ( ( y (,) z )  C_  D  /\  ( vol `  (
y (,) z ) )  <  d )  ->  S. ( y (,) z ) ( abs `  ( F `
 t ) )  _d t  <  e
) ) )
15294, 112, 139, 151syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  S. ( y (,) z
) ( abs `  ( F `  t )
)  _d t  < 
e )
153101, 107, 110, 111, 152lelttrd 9651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  S. ( y (,) z ) ( F `  t )  _d t )  < 
e )
15469, 153eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
)  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
)
155154expr 613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  y  <_  z
) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
15626, 36, 39, 54, 155wlogle 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )
)  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e ) )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  z  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
157156ralrimivva 2803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  /\  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
158157ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
159158anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w
) )  _d w  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  ( z  -  y ) )  <  d  ->  ( abs `  ( ( G `
 z )  -  ( G `  y ) ) )  <  e
) ) )
160159reximdva 2857 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  D  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  ( F `  w )
)  _d w  < 
e )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) )
16116, 160mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
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) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
162 r19.12 2908 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
163161, 162syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
164163ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B ) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
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( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
165 ralcom 2943 . . 3  |-  ( A. e  e.  RR+  A. y  e.  ( A [,] B
) E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e )  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
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( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
166164, 165sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
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) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) )
167 ax-resscn 9460 . . . 4  |-  RR  C_  CC
16838, 167syl6ss 3429 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
169 ssid 3436 . . 3  |-  CC  C_  CC
170 elcncf2 21479 . . 3  |-  ( ( ( A [,] B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  <->  ( G :
( A [,] B
) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
171168, 169, 170sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> CC )  <->  ( G : ( A [,] B ) --> CC  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( G `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
1729, 166, 171mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   RR+crp 11139   (,)cioo 11450   [,]cicc 11453   abscabs 13069   -cn->ccncf 21465   vol*covol 21959   volcvol 21960  MblFncmbf 22108   L^1cibl 22111   S.citg 22112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113  df-itg1 22114  df-itg2 22115  df-ibl 22116  df-itg 22117  df-0p 22162
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