Theorem itgabs 23407

Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgabs.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgabs.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgabs	⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgabs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgabs.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		itgabs.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgcl 23356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 13784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
5		iblmbf 23340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
6	2, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
7	6, 1	mbfmptcl 23210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
9		nfv 1830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐵 ∈ ℂ
10		nfcsb1v 3515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	10	nfel1 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ
12		csbeq1a 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
13	12	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	9, 11, 13	cbvral 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
15	8, 14	sylib 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		nfcv 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
18	17, 10, 12	cbvmpt 4677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
19	18, 2	syl5eqelr 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ 𝐿1)
20	4, 16, 19	iblmulc2 23403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
21	4	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
22	21, 16	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
23	22	iblcn 23371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)))
24	20, 23	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1))
25	24	simpld 474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
26		ovex 6577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ V)
28	27, 20	iblabs 23401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))) ∈ 𝐿1)
29	22	recld 13782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
30	22	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℝ)
31	22	releabsd 14038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ≤ (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
32	25, 28, 29, 30, 31	itgle 23382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 ≤ ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
33	3	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
34	33	recnd 9947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℂ)
35	34	sqvald 12867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
36	3	absvalsqd 14029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
37	3, 4	mulcomd 9940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 · (∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥))
38	12, 17, 10	cbvitg 23348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦
39	38	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦)
40	4, 16, 19	itgmulc2 23406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 d𝑦) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
41	39, 40	syl5eq 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴𝐵 d𝑥) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
42	36, 37, 41	3eqtrd 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
43	42	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦))
44	33	resqcld 12897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) ∈ ℝ)
45	44	rered 13812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2))
46	27, 20	itgre 23373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘∫𝐴((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
47	43, 45, 46	3eqtr3d 2652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)↑2) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
48	35, 47	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = ∫𝐴(ℜ‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
49	12	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
50		nfcv 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(abs‘𝐵)
51		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥abs
52	51, 10	nffv 6110	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
53	49, 50, 52	cbvitg 23348	. . . . . . . 8 ⊢ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦
54	53	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦)
55	16	abscld 14023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
56	16, 19	iblabs 23401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ 𝐿1)
57	34, 55, 56	itgmulc2 23406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
58	21, 16	absmuld 14041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
59	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
60	59	abscjd 14037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
61	60	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((abs‘(∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
62	58, 61	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) = ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
63	62	itgeq2dv 23354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦 = ∫𝐴((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
64	57, 63	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) d𝑦) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
65	54, 64	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥) = ∫𝐴(abs‘((∗‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)) d𝑦)
66	32, 48, 65	3brtr4d 4615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
68	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ)
69	7	abscld 14023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
70	1, 2	iblabs 23401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
71	69, 70	itgrecl 23370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ)
73		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
74		lemul2 10755	. . . . 5 ⊢ (((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
75	68, 72, 68, 73, 74	syl112anc 1322	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) ≤ ((abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) · ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)))
76	67, 75	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
77	76	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
78	7	absge0d 14031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
79	70, 69, 78	itgge0 23383	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)
80		breq1 4586	. . 3 ⊢ (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (0 ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥 ↔ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
81	79, 80	syl5ibcom 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥))
82	3	absge0d 14031	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))
83		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
84		leloe 10003	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
85	83, 33, 84	sylancr 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ↔ (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥))))
86	82, 85	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ∨ 0 = (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥)))
87	77, 81, 86	mpjaod 395	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫𝐴𝐵 d𝑥) ≤ ∫𝐴(abs‘𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  MblFncmbf 23189  𝐿¹cibl 23192  ∫citg 23193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  itgulm  23966  fourierdlem47  39046  fourierdlem87  39086  etransclem23  39150