MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcn 23415
Description: Transfer itg2cn 23336 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcn.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgcn.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
itgcn (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐴   𝐵,𝑑,𝑢   𝐶,𝑑,𝑢   𝜑,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 23340 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 23210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65abscld 14023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
75absge0d 14031 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
8 elrege0 12149 . . . . . . 7 ((abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
96, 7, 8sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
10 0e0icopnf 12153 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,)+∞)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 0 ∈ (0[,)+∞))
129, 11ifclda 4070 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
14 eqid 2610 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
1513, 14fmptd 6292 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
163, 4mbfdm2 23211 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
17 mblss 23106 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
19 rembl 23115 . . . . 5 ℝ ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
2112adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ (0[,)+∞))
22 eldifn 3695 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
2423iffalsed 4047 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = 0)
25 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) = (abs‘𝐵))
2625mpteq2ia 4668 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵))
274, 1iblabs 23401 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
286, 7iblpos 23365 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)))
2927, 28mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ))
3029simpld 474 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn)
3126, 30syl5eqel 2692 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3218, 20, 21, 24, 31mbfss 23219 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0)) ∈ MblFn)
3329simprd 478 . . 3 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈ ℝ)
34 itgcn.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3515, 32, 33, 34itg2cn 23336 . 2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
36 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢𝐴)
3736sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥𝐴)
385adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3937, 38syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 𝐵 ∈ ℂ)
4039abscld 14023 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
41 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → 𝑢 ∈ dom vol)
4238abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
4327adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4436, 41, 42, 43iblss 23377 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4539absge0d 14031 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) ∧ 𝑥𝑢) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
4640, 44, 45itgposval 23368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))))
4736sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢𝑥𝐴))
4847pm4.71d 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥𝑢 ↔ (𝑥𝑢𝑥𝐴)))
4948ifbid 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0))
50 ifan 4084 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑥𝑢𝑥𝐴), (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)
5149, 50syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
5251mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
5352fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (abs‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
5446, 53eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))))
55 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 𝑦𝑢
56 nffvmpt1 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦)
57 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥0
5855, 56, 57nfif 4065 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)
59 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)
60 elequ1 1984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑢𝑥𝑢))
61 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥))
6260, 61ifbieq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0) = if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
6358, 59, 62cbvmpt 4677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0))
64 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘𝐵) ∈ V
65 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6664, 65ifex 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V
6714fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈ V) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6866, 67mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥) = if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))
6968ifeq1d 4054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0) = if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7069mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7163, 70eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0))
7271fveq2i 6106 . . . . . . . . . . 11 (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0), 0)))
7354, 72syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 = (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))))
7473breq1d 4593 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶 ↔ (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶))
7574biimprd 237 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → ((∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
7675imim2d 55 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ 𝑢𝐴)) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
7776expr 641 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (𝑢𝐴 → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7877com23 84 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → (𝑢𝐴 → ((vol‘𝑢) < 𝑑 → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))))
7978imp4a 612 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → (((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8079ralimdva 2945 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8180reximdv 2999 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑦 ∈ ℝ ↦ if(𝑦𝑢, ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (abs‘𝐵), 0))‘𝑦), 0))) < 𝐶) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶)))
8235, 81mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢𝐴 ∧ (vol‘𝑢) < 𝑑) → ∫𝑢(abs‘𝐵) d𝑥 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950   < clt 9953  cle 9954  +crp 11708  [,)cico 12048  abscabs 13822  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  2citg2 23191  𝐿1cibl 23192  citg 23193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243
This theorem is referenced by:  ftc1a  23604
  Copyright terms: Public domain W3C validator