Theorem mblvol 23105

Description: The volume of a measurable set is the same as its outer volume. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblvol	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Proof of Theorem mblvol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		volres 23103	. . 3 ⊢ vol = (vol* ↾ dom vol)
2	1	fveq1i 6104	. 2 ⊢ (vol‘𝐴) = ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴)
3		fvres 6117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((vol* ↾ dom vol)‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2656	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  vol*covol 23038  volcvol 23039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fv 5812  df-vol 23041

This theorem is referenced by:  volss  23108  volun  23120  volinun  23121  volfiniun  23122  voliunlem3  23127  volsup  23131  iccvolcl  23142  ovolioo  23143  ioovolcl  23144  uniioovol  23153  uniioombllem4  23160  volcn  23180  volivth  23181  vitalilem4  23186  i1fima2  23252  i1fd  23254  i1f0rn  23255  itg1val2  23257  itg1ge0  23259  itg11  23264  i1fadd  23268  i1fmul  23269  itg1addlem2  23270  itg1addlem4  23272  i1fres  23278  itg10a  23283  itg1ge0a  23284  itg1climres  23287  mbfi1fseqlem4  23291  itg2const2  23314  itg2gt0  23333  itg2cnlem2  23335  ftc1a  23604  ftc1lem4  23606  itgulm  23966  areaf  24488  cntnevol  29618  volmeas  29621  mblfinlem3  32618  mblfinlem4  32619  ismblfin  32620  voliunnfl  32623  volsupnfl  32624  itg2addnclem  32631  itg2addnclem2  32632  itg2gt0cn  32635  ftc1cnnclem  32653  ftc1anclem7  32661  areacirc  32675  arearect  36820  areaquad  36821  volioo  38840  vol0  38851  volge0  38853  volsn  38859  volicc  38891  vonvol  39552