Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1f0rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1f0rn 23255
 Description: Any simple function takes the value zero on a set of unbounded measure, so in particular this set is not empty. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1f0rn (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)

Proof of Theorem i1f0rn
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9960 . . 3 +∞ ∉ ℝ
21neli 2885 . 2 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 rembl 23115 . . . . . 6 ℝ ∈ dom vol
4 mblvol 23105 . . . . . 6 (ℝ ∈ dom vol → (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (vol‘ℝ) = (vol*‘ℝ)
6 ovolre 23100 . . . . 5 (vol*‘ℝ) = +∞
75, 6eqtri 2632 . . . 4 (vol‘ℝ) = +∞
8 cnvimarndm 5405 . . . . . . 7 (𝐹 “ ran 𝐹) = dom 𝐹
9 i1ff 23249 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fdm 5964 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℝ⟶ℝ → dom 𝐹 = ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → dom 𝐹 = ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → dom 𝐹 = ℝ)
138, 12syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (𝐹 “ ran 𝐹) = ℝ)
1413fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) = (vol‘ℝ))
15 i1fima2 23252 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘(𝐹 “ ran 𝐹)) ∈ ℝ)
1614, 15eqeltrrd 2689 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → (vol‘ℝ) ∈ ℝ)
177, 16syl5eqelr 2693 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ ran 𝐹) → +∞ ∈ ℝ)
1817ex 449 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (¬ 0 ∈ ran 𝐹 → +∞ ∈ ℝ))
192, 18mt3i 140 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  vol*covol 23038  volcvol 23039  ∫1citg1 23190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195 This theorem is referenced by:  i1fres  23278  itg1climres  23287  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem7  32661  ftc1anc  32663
 Copyright terms: Public domain W3C validator