Proof of Theorem ftc1cnnclem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ftc1cnnc.a |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
2 | | ftc1cnnc.b |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
3 | | iccssre 12126 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
5 | | ftc1cnnclem.x1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
6 | 4, 5 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
7 | | ftc1cnnclem.y1 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
8 | 4, 7 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
9 | | ltle 10005 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
10 | 6, 8, 9 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌)) |
11 | 10 | imp 444 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌) |
12 | | ftc1cnnc.g |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
13 | | ftc1cnnc.le |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵) |
14 | | ssid 3587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵) |
15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
16 | | ioossre 12106 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ |
17 | 16 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) |
18 | | ftc1cnnc.i |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈
𝐿1) |
19 | | ftc1cnnc.f |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) |
20 | | cncff 22504 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
22 | 12, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7 | ftc1lem1 23602 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
23 | 11, 22 | syldan 486 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
24 | 1 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
25 | 2 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
26 | | elicc1 12090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))) |
27 | 26 | biimpa 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)) |
28 | 27 | simp2d 1067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑋) |
29 | 24, 25, 5, 28 | syl21anc 1317 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋) |
30 | | iccleub 12100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝑌
∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌 ≤ 𝐵) |
31 | 24, 25, 7, 30 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵) |
32 | | ioossioo 12136 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
33 | 24, 25, 29, 31, 32 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
34 | 33 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
35 | 21 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) |
36 | 34, 35 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) |
37 | | ftc1cnnclem.c |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
38 | 21, 37 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
39 | 38 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
40 | 36, 39 | npcand 10275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) = (𝐹‘𝑡)) |
41 | 40 | itgeq2dv 23354 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡) |
42 | 36, 39 | subcld 10271 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ ℂ) |
43 | | ioombl 23140 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) |
45 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐹‘𝑡) ∈ V |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑡) ∈ V) |
47 | 21 | feqmptd 6159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
48 | 47, 18 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈
𝐿1) |
49 | 33, 44, 46, 48 | iblss 23377 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈
𝐿1) |
50 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) |
51 | | mblvol 23105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))) |
52 | 43, 51 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) |
53 | | ioossicc 12130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) |
54 | 53 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)) |
55 | | iccmbl 23141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol) |
56 | 6, 8, 55 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol) |
57 | | mblss 23106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ) |
59 | | mblvol 23105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌))) |
60 | 56, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌))) |
61 | | iccvolcl 23142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) →
(vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈
ℝ) |
62 | 6, 8, 61 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) |
63 | 60, 62 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) |
64 | | ovolsscl 23061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
65 | 54, 58, 63, 64 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
66 | 52, 65 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ) |
67 | | iblconst 23390 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈
𝐿1) |
68 | 44, 66, 38, 67 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝑐)}) ∈
𝐿1) |
69 | 50, 68 | syl5eqelr 2693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈
𝐿1) |
70 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
71 | 70 | subcn 22477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ −
∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → − ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
73 | 21, 33 | feqresmpt 6160 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
74 | | rescncf 22508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))) |
75 | 33, 19, 74 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
76 | 73, 75 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
77 | | ioossre 12106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ |
78 | | ax-resscn 9872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
79 | 77, 78 | sstri 3577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ |
80 | | ssid 3587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
81 | | cncfmptc 22522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑡 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
82 | 79, 80, 81 | mp3an23 1408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
83 | 38, 82 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
84 | 70, 72, 76, 83 | cncfmpt2f 22525 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
85 | | cnmbf 23232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
86 | 43, 84, 85 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
87 | 36, 49, 39, 69, 86 | iblsubnc 32641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈
𝐿1) |
88 | 40 | mpteq2dva 4672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡))) |
89 | 88, 73 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌))) |
90 | | iblmbf 23340 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐹 ∈ 𝐿1
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
91 | 18, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
92 | | mbfres 23217 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn) |
93 | 91, 43, 92 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn) |
94 | 89, 93 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐))) ∈ MblFn) |
95 | 42, 87, 39, 69, 94 | itgaddnc 32640 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) + (𝐹‘𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
96 | 41, 95 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
97 | 96 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡)) |
98 | | itgconst 23391 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
99 | 44, 66, 38, 98 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
100 | 99 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
101 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ) |
102 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ) |
103 | | ovolioo 23143 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
104 | 101, 102,
11, 103 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
105 | 52, 104 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋)) |
106 | 105 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) |
107 | 100, 106 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡 = ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) |
108 | 107 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))) |
109 | 23, 97, 108 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)))) |
110 | 109 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋))) |
111 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V |
112 | 111 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) ∈ V) |
113 | 112, 87 | itgcl 23356 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ) |
114 | 113 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ) |
115 | 38 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ) |
116 | 8, 6 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) |
117 | 116 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ) |
118 | 117 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ) |
119 | 115, 118 | mulcld 9939 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
120 | 6, 8 | posdifd 10493 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋))) |
121 | 120 | biimpa 500 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋)) |
122 | 121 | gt0ne0d 10471 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0) |
123 | 114, 119,
118, 122 | divdird 10718 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 + ((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)))) |
124 | 115, 118,
122 | divcan4d 10686 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝑐)) |
125 | 124 | oveq2d 6565 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝑐) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐))) |
126 | 110, 123,
125 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐))) |
127 | 126 | oveq1d 6564 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)) − (𝐹‘𝑐))) |
128 | 114, 118,
122 | divcld 10680 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ) |
129 | 128, 115 | pncand 10272 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝑐)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) |
130 | 127, 129 | eqtrd 2644 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) |
131 | 130 | fveq2d 6107 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))) |
132 | 114, 118,
122 | absdivd 14042 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋)))) |
133 | 116 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) |
134 | | 0re 9919 |
. . . . . . 7
⊢ 0 ∈
ℝ |
135 | | ltle 10005 |
. . . . . . 7
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (𝑌
− 𝑋) ∈ ℝ)
→ (0 < (𝑌 −
𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))) |
136 | 134, 133,
135 | sylancr 694 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))) |
137 | 121, 136 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)) |
138 | 133, 137 | absidd 14009 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋)) |
139 | 138 | oveq2d 6565 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋))) |
140 | 131, 132,
139 | 3eqtrd 2648 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋))) |
141 | 114 | abscld 14023 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ) |
142 | 42 | abscld 14023 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ) |
143 | | cncfss 22510 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℝ
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)) |
144 | 78, 80, 143 | mp2an 704 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(ℂ–cn→ℝ)
⊆ (ℂ–cn→ℂ) |
145 | | abscncf 22512 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ abs
∈ (ℂ–cn→ℝ) |
146 | 144, 145 | sselii 3565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ abs
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
147 | 146 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → abs ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
148 | 147, 84 | cncfmpt1f 22524 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
149 | | cnmbf 23232 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
150 | 43, 148, 149 | sylancr 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
151 | 112, 87, 150 | iblabsnc 32644 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
𝐿1) |
152 | 142, 151 | itgrecl 23370 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ) |
153 | 152 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ) |
154 | | ftc1cnnclem.e |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈
ℝ+) |
155 | 154 | rpred 11748 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ) |
156 | 116, 155 | remulcld 9949 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ) |
157 | 156 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ) |
158 | 113 | cjcld 13784 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ) |
159 | | cncfmptc 22522 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑥 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
160 | 79, 80, 159 | mp3an23 1408 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
161 | 158, 160 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
162 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) |
163 | | nfcsb1v 3515 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑡⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) |
164 | | csbeq1a 3508 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) = ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) |
165 | 162, 163,
164 | cbvmpt 4677 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) |
166 | 165, 84 | syl5eqelr 2693 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
167 | 161, 166 | mulcncf 23023 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
168 | | cnmbf 23232 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
169 | 43, 167, 168 | sylancr 694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) · ⦋𝑥 / 𝑡⦌((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈ MblFn) |
170 | 42, 87, 150, 169 | itgabsnc 32649 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) |
171 | 170 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) |
172 | | simpr 476 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌) |
173 | 155 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ) |
174 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) |
175 | 154 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ) |
176 | | iblconst 23390 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈
𝐿1) |
177 | 44, 66, 175, 176 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈
𝐿1) |
178 | 174, 177 | syl5eqelr 2693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈
𝐿1) |
179 | | cncfmptc 22522 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ) → (𝑡 ∈
(𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
180 | 79, 80, 179 | mp3an23 1408 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
181 | 175, 180 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
182 | 70, 72, 181, 148 | cncfmpt2f 22525 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
183 | | cnmbf 23232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn) |
184 | 43, 182, 183 | sylancr 694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ MblFn) |
185 | 173, 178,
142, 151, 184 | iblsubnc 32641 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈
𝐿1) |
186 | 185 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈
𝐿1) |
187 | | ftc1cnnclem.fc |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
188 | 187 | ralrimiva 2949 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
189 | 188 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
190 | 16, 37 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑐 ∈ ℝ) |
191 | | ftc1cnnclem.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ+) |
192 | 191 | rpred 11748 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
193 | 190, 192 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ) |
194 | 193 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) ∈ ℝ) |
195 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ) |
196 | | elioore 12076 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ) |
197 | 196 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ) |
198 | | ftc1cnnclem.x2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅) |
199 | 6, 190, 192 | absdifltd 14020 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))) |
200 | 198, 199 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝑐 + 𝑅))) |
201 | 200 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋) |
202 | 201 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑋) |
203 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌)) |
204 | 203 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌)) |
205 | 204 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡) |
206 | 194, 195,
197, 202, 205 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 − 𝑅) < 𝑡) |
207 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
208 | 190, 192 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ) |
209 | 208 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ) |
210 | 204 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌) |
211 | | ftc1cnnclem.y2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅) |
212 | 8, 190, 192 | absdifltd 14020 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))) |
213 | 211, 212 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑐 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))) |
214 | 213 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)) |
215 | 214 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅)) |
216 | 197, 207,
209, 210, 215 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅)) |
217 | 190 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ) |
218 | 192 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
219 | 197, 217,
218 | absdifltd 14020 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝑐 + 𝑅)))) |
220 | 206, 216,
219 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅) |
221 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 − 𝑐) = (𝑡 − 𝑐)) |
222 | 221 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑡 − 𝑐))) |
223 | 222 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅)) |
224 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑡)) |
225 | 224 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐)) = ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) |
226 | 225 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) = (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) |
227 | 226 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸)) |
228 | 223, 227 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))) |
229 | 228 | rspcv 3278 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸))) |
230 | 34, 189, 220, 229 | syl3c 64 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) |
231 | | difrp 11744 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+)) |
232 | 142, 173,
231 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+)) |
233 | 230, 232 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+) |
234 | 233 | adantlr 747 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) ∈
ℝ+) |
235 | 182 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) |
236 | 172, 186,
234, 235 | itggt0cn 32652 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡) |
237 | 173, 178,
142, 151, 184 | itgsubnc 32642 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
238 | 237 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
239 | | itgconst 23391 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
240 | 44, 66, 175, 239 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
241 | 240 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌)))) |
242 | 105 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋))) |
243 | 175, 117 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
244 | 243 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
245 | 241, 242,
244 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
246 | 245 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
247 | 238, 246 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
248 | 236, 247 | breqtrd 4609 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) |
249 | 152, 156 | posdifd 10493 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡))) |
250 | 249 | biimpar 501 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
251 | 248, 250 | syldan 486 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
252 | 141, 153,
157, 171, 251 | lelttrd 10074 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)) |
253 | 155 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ) |
254 | | ltdivmul 10777 |
. . . 4
⊢
(((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))) |
255 | 141, 253,
133, 121, 254 | syl112anc 1322 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))) |
256 | 252, 255 | mpbird 246 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝑐)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸) |
257 | 140, 256 | eqbrtrd 4605 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝑐))) < 𝐸) |