Theorem elioore 12076

Description: A member of an open interval of reals is a real. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elioore	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem elioore

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 12075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
2		3ancomb 1040	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
3		xrre2 11875	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	2, 3	sylanb 488	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	1, 4	sylbi 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  (,)cioo 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050

This theorem is referenced by:  iooval2  12079  elioo4g  12105  ioossre  12106  zltaddlt1le  12195  tgioo  22407  zcld  22424  ioorcl2  23146  lhop2  23582  dvcvx  23587  pilem2  24010  pilem3  24011  pire  24014  tanrpcl  24060  tangtx  24061  tanabsge  24062  sinq34lt0t  24065  cosq14gt0  24066  sineq0  24077  cosne0  24080  tanord  24088  divlogrlim  24181  logno1  24182  logccv  24209  angpieqvd  24358  asinsin  24419  reasinsin  24423  scvxcvx  24512  basellem3  24609  basellem8  24614  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  selberg3lem1  25046  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6a  25071  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd  25077  pntibndlem3  25081  pntibnd  25082  knoppndvlem3  31675  iooelexlt  32386  relowlssretop  32387  relowlpssretop  32388  tan2h  32571  itg2gt0cn  32635  itggt0cn  32652  ftc1cnnclem  32653  ftc1cnnc  32654  ftc1anclem7  32661  ftc1anclem8  32662  ftc1anc  32663  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirc  32675  cvgdvgrat  37534  iooabslt  38568  iocopn  38593  iooshift  38595  icoopn  38598  iooiinicc  38616  elioored  38623  iooiinioc  38630  islptre  38686  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  lptre2pt  38707  limcresiooub  38709  limcresioolb  38710  sinaover2ne0  38751  icccncfext  38773  cncfiooicclem1  38779  dvbdfbdioolem2  38819  itgcoscmulx  38861  iblcncfioo  38870  wallispilem1  38958  dirkeritg  38995  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem2  38997  fourierdlem27  39027  fourierdlem28  39028  fourierdlem31  39031  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem41  39041  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem56  39055  fourierdlem57  39056  fourierdlem59  39058  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem62  39061  fourierdlem64  39063  fourierdlem68  39067  fourierdlem72  39071  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem78  39077  fourierdlem81  39080  fourierdlem84  39083  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem92  39091  fourierdlem93  39092  fourierdlem97  39096  fourierdlem100  39099  fourierdlem101  39100  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fouriersw  39124  etransclem23  39150  etransclem46  39173  smfaddlem1  39649  amgmwlem  42357