Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logccv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logccv 24209
 Description: The natural logarithm function on the reals is a strictly concave function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
logccv (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))

Proof of Theorem logccv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 11748 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
43rpred 11748 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 simpl3 1059 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 𝐵)
61rpgt0d 11751 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝐴)
7 ltpnf 11830 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
84, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 < +∞)
9 0xr 9965 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
10 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
11 iccssioo 12113 . . . . . . . . . . . 12 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 𝐴𝐵 < +∞)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
129, 10, 11mpanl12 714 . . . . . . . . . . 11 ((0 < 𝐴𝐵 < +∞) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
136, 8, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (0(,)+∞))
14 ioorp 12122 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1513, 14syl6sseq 3614 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+)
1615sselda 3568 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1716relogcld 24173 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
1817renegcld 10336 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(log‘𝑥) ∈ ℝ)
19 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))
2018, 19fmptd 6292 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
21 ax-resscn 9872 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
2215resabs1d 5348 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (log ↾ (𝐴[,]𝐵)))
23 ssid 3587 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
24 cncfss 22510 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ))
2521, 23, 24mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (ℝ+cn→ℝ) ⊆ (ℝ+cn→ℂ)
26 relogcn 24184 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℝ)
2725, 26sselii 3565 . . . . . . . . 9 (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ)
28 rescncf 22508 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+cn→ℂ) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
2915, 27, 28mpisyl 21 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((log ↾ ℝ+) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
3022, 29eqeltrrd 2689 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
31 fvres 6117 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = (log‘𝑥))
3231negeqd 10154 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥) = -(log‘𝑥))
3332mpteq2ia 4668 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))
3433eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -((log ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑥))
3534negfcncf 22530 . . . . . . 7 ((log ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
3630, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
37 cncffvrn 22509 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
3821, 36, 37sylancr 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
3920, 38mpbird 246 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
40 ioossre 12106 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
41 ltso 9997 . . . . . . . 8 < Or ℝ
42 soss 4977 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or (𝐴(,)𝐵)))
4340, 41, 42mp2 9 . . . . . . 7 < Or (𝐴(,)𝐵)
4443a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Or (𝐴(,)𝐵))
45 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4645, 15syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ+)
4746sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4847rprecred 11759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
4948renegcld 10336 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(1 / 𝑥) ∈ ℝ)
50 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))
5149, 50fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
52 frn 5966 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ⊆ ℝ)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ⊆ ℝ)
54 soss 4977 . . . . . . . 8 (ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
5553, 41, 54mpisyl 21 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
56 sopo 4976 . . . . . . 7 ( < Or ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) → < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
58 negex 10158 . . . . . . . . 9 -(1 / 𝑥) ∈ V
5958, 50fnmpti 5935 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Fn (𝐴(,)𝐵)
60 dffn4 6034 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
6159, 60mpbi 219 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))
6261a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
6346sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
6463adantrl 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
6564rprecred 11759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
6646sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6766adantrr 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6867rprecred 11759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
6965, 68ltnegd 10484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ((1 / 𝑧) < (1 / 𝑦) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
7067, 64ltrecd 11766 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (1 / 𝑧) < (1 / 𝑦)))
71 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑦))
7271negeqd 10154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → -(1 / 𝑥) = -(1 / 𝑦))
73 negex 10158 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑦) ∈ V
7472, 50, 73fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) = -(1 / 𝑦))
75 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (1 / 𝑥) = (1 / 𝑧))
7675negeqd 10154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → -(1 / 𝑥) = -(1 / 𝑧))
77 negex 10158 . . . . . . . . . . . 12 -(1 / 𝑧) ∈ V
7876, 50, 77fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) = -(1 / 𝑧))
7974, 78breqan12d 4599 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
8079adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧) ↔ -(1 / 𝑦) < -(1 / 𝑧)))
8169, 70, 803bitr4d 299 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
8281biimpd 218 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
8382ralrimivva 2954 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))
84 soisoi 6478 . . . . . 6 ((( < Or (𝐴(,)𝐵) ∧ < Po ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ∧ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)):(𝐴(,)𝐵)–onto→ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝑦 < 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑦) < ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))‘𝑧)))) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
8544, 57, 62, 83, 84syl22anc 1319 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
86 reelprrecn 9907 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
8786a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
88 relogcl 24126 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
8988adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
9089recnd 9947 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
9190negcld 10258 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(log‘𝑥) ∈ ℂ)
9258a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → -(1 / 𝑥) ∈ V)
93 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (1 / 𝑥) ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ V)
95 dvrelog 24183 . . . . . . . . 9 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
96 relogf1o 24117 . . . . . . . . . . . . 13 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
97 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . 13 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9896, 97mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
9998feqmptd 6159 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
100 fvres 6117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
101100mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
10299, 101syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
103102oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
10495, 103syl5reqr 2659 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
10587, 90, 94, 104dvmptneg 23535 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ -(1 / 𝑥)))
106 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
107106tgioo2 22414 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
108 iccntr 22432 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1092, 4, 108syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
11087, 91, 92, 105, 15, 107, 106, 109dvmptres2 23531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))
111 isoeq1 6467 . . . . . 6 ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))))
112110, 111syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥)))))
11385, 112mpbird 246 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -(1 / 𝑥))))
114 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
115 eqid 2610 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
1162, 4, 5, 39, 113, 114, 115dvcvx 23587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))))
117 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
118 elioore 12076 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
119118adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
120119recnd 9947 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
121 nncan 10189 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
122117, 120, 121sylancr 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
123122oveq1d 6564 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) = (𝑇 · 𝐴))
124123oveq1d 6564 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
125 ioossicc 12130 . . . . . . . 8 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
126125, 114sseldi 3566 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
127 iirev 22536 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
128126, 127syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
129 lincmb01cmp 12186 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
1302, 4, 5, 128, 129syl31anc 1321 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
131124, 130eqeltrrd 2689 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
132 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) → (log‘𝑥) = (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
133132negeqd 10154 . . . . 5 (𝑥 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) → -(log‘𝑥) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
134 negex 10158 . . . . 5 -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ∈ V
135133, 19, 134fvmpt 6191 . . . 4 (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
136131, 135syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
1371rpxrd 11749 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1383rpxrd 11749 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1392, 4, 5ltled 10064 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴𝐵)
140 lbicc2 12159 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
141137, 138, 139, 140syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
142 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
143142negeqd 10154 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝐴))
144 negex 10158 . . . . . . . . 9 -(log‘𝐴) ∈ V
145143, 19, 144fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴) = -(log‘𝐴))
146141, 145syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴) = -(log‘𝐴))
147146oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) = (𝑇 · -(log‘𝐴)))
1481relogcld 24173 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
149148recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
150120, 149mulneg2d 10363 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · -(log‘𝐴)) = -(𝑇 · (log‘𝐴)))
151147, 150eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) = -(𝑇 · (log‘𝐴)))
152 ubicc2 12160 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
153137, 138, 139, 152syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
154 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (log‘𝑥) = (log‘𝐵))
155154negeqd 10154 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝐵))
156 negex 10158 . . . . . . . . 9 -(log‘𝐵) ∈ V
157155, 19, 156fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵) = -(log‘𝐵))
158153, 157syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵) = -(log‘𝐵))
159158oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵)) = ((1 − 𝑇) · -(log‘𝐵)))
160 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
161 resubcl 10224 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
162160, 119, 161sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
163162recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
1643relogcld 24173 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
165164recnd 9947 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
166163, 165mulneg2d 10363 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · -(log‘𝐵)) = -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))
167159, 166eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵)) = -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))
168151, 167oveq12d 6567 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))) = (-(𝑇 · (log‘𝐴)) + -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
169119, 148remulcld 9949 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
170169recnd 9947 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
171162, 164remulcld 9949 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
172171recnd 9947 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)) ∈ ℂ)
173170, 172negdid 10284 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) = (-(𝑇 · (log‘𝐴)) + -((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
174168, 173eqtr4d 2647 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ -(log‘𝑥))‘𝐵))) = -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
175116, 136, 1743brtr3d 4614 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))))
176169, 171readdcld 9948 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) ∈ ℝ)
17715, 131sseldd 3569 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
178177relogcld 24173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ∈ ℝ)
179176, 178ltnegd 10484 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) ↔ -(log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < -((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵)))))
180175, 179mpbird 246 1 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · (log‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (log‘𝐵))) < (log‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Po wpo 4957   Or wor 4958  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487   D cdv 23433  logclog 24105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107 This theorem is referenced by:  amgmlem  24516  amgmwlem  42357
 Copyright terms: Public domain W3C validator