Theorem pnfxr 9971

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3739	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 9955	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 9896	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 6851	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 4774	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 4241	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 3565	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 9957	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2687	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  ∪ cuni 4372  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ^*cxr 9952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-pow 4769  ax-un 6847  ax-cnex 9871

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-v 3175  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-pnf 9955  df-xr 9957

This theorem is referenced by:  pnfex  9972  pnfnemnf  9973  xnn0xr  11245  xrltnr  11829  ltpnf  11830  mnfltpnf  11836  pnfnlt  11838  pnfge  11840  nltpnft  11871  xrre  11874  xrre2  11875  xnegcl  11918  xaddf  11929  xaddpnf1  11931  xaddpnf2  11932  pnfaddmnf  11935  mnfaddpnf  11936  xaddass2  11952  xlt2add  11962  xsubge0  11963  xmulneg1  11971  xmulf  11974  xmulpnf1  11976  xmulpnf2  11977  xmulmnf1  11978  xmulpnf1n  11980  xlemul1a  11990  xadddilem  11996  xadddi2  11999  xrsupsslem  12009  xrinfmsslem  12010  supxrpnf  12020  supxrunb1  12021  supxrunb2  12022  supxrbnd  12030  xrinf0  12039  elicore  12097  elioc2  12107  elico2  12108  elicc2  12109  ioomax  12119  iccmax  12120  ioopos  12121  elioopnf  12138  elicopnf  12140  unirnioo  12144  xrge0neqmnf  12147  elxrge0  12152  difreicc  12175  xnn0xrge0  12196  ioopnfsup  12525  icopnfsup  12526  xrsup  12529  hashbnd  12985  hashnnn0genn0  12993  hashxrcl  13010  hashdomi  13030  sgnpnf  13681  rexico  13941  limsupgre  14060  rlim3  14077  fprodge0  14563  fprodge1  14565  pcxcl  15403  pc2dvds  15421  pcadd  15431  ramxrcl  15559  ramubcl  15560  xrsnsgrp  19601  xrsdsreclblem  19611  rge0srg  19636  leordtvallem1  20824  leordtval2  20826  lecldbas  20833  pnfnei  20834  mnfnei  20835  xblpnfps  22010  xblpnf  22011  xblss2ps  22016  blssec  22050  blpnfctr  22051  nmoix  22343  icopnfcld  22381  iocmnfcld  22382  xrtgioo  22417  reconnlem1  22437  xrge0tsms  22445  metdstri  22462  iccpnfcnv  22551  ovolf  23057  ovolicopnf  23099  ovolre  23100  volsup  23131  ioombl1lem4  23136  icombl1  23138  icombl  23139  ioombl  23140  uniioombllem1  23155  mbfdm  23201  ismbfd  23213  mbfmax  23222  ismbf3d  23227  itg2ge0  23308  lhop2  23582  dvfsumlem2  23594  dvfsumrlim  23598  dvfsumrlim2  23599  taylfvallem1  23915  taylfval  23917  tayl0  23920  radcnvcl  23975  radcnvle  23978  psercnlem1  23983  logccv  24209  rlimcnp  24492  rlimcnp2  24493  xrlimcnp  24495  logfacbnd3  24748  chebbnd1  24961  chebbnd2  24966  dchrisumlem3  24980  log2sumbnd  25033  pntpbnd1  25075  pntibndlem2  25080  pntlemb  25086  pntleme  25097  pnt  25103  upgrfi  25758  umgrafi  25851  sizeusglecusg  26014  topnfbey  26717  isblo3i  27040  xgepnf  28904  xrge0infss  28915  dfrp2  28922  xrdifh  28932  elxrge02  28971  xdivpnfrp  28972  xrge0addass  29021  xrge0addgt0  29022  xrge0adddir  29023  xrge0npcan  29025  fsumrp0cl  29026  pnfinf  29068  xrnarchi  29069  xrge0tsmsd  29116  xrge0slmod  29175  unitssxrge0  29274  tpr2rico  29286  xrge0iifcnv  29307  xrge0iifiso  29309  xrge0iifhom  29311  xrge0mulc1cn  29315  pnfneige0  29325  lmxrge0  29326  esumle  29447  esumlef  29451  esumcst  29452  esumpr2  29456  esumpinfval  29462  esumpinfsum  29466  esumpcvgval  29467  hashf2  29473  esumcvg  29475  esumcvgsum  29477  voliune  29619  volfiniune  29620  ddemeas  29626  sxbrsigalem0  29660  sxbrsigalem2  29675  oms0  29686  sibfinima  29728  sitmcl  29740  probmeasb  29819  orvcgteel  29856  dstfrvclim1  29866  signsply0  29954  iooelexlt  32386  mbfposadd  32627  itg2addnclem2  32632  ftc1anclem5  32659  asindmre  32665  dvasin  32666  dvacos  32667  dvconstbi  37555  rfcnpre3  38215  absfico  38405  xadd0ge  38477  xrgepnfd  38488  xrge0nemnfd  38489  supxrgere  38490  supxrgelem  38494  supxrge  38495  xralrple2  38511  infxr  38524  infleinflem2  38528  xrralrecnnge  38554  iocopn  38593  pnfel0pnf  38601  ge0nemnf2  38602  ge0xrre  38605  ge0lere  38606  ressiooinf  38631  fsumge0cl  38640  limcicciooub  38704  limsupre  38708  limcresiooub  38709  limcleqr  38711  icccncfext  38773  iblsplit  38858  itgsubsticclem  38867  fourierdlem31  39031  fourierdlem33  39033  fourierdlem46  39045  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem65  39064  fourierdlem73  39072  fourierdlem75  39074  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem95  39094  fourierdlem97  39096  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem109  39108  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fourierdlem113  39112  fouriersw  39124  ioorrnopnxrlem  39202  sge0val  39259  fge0iccico  39263  gsumge0cl  39264  sge0sn  39272  sge0tsms  39273  sge0cl  39274  sge0f1o  39275  sge0ge0  39277  sge0repnf  39279  sge0fsum  39280  sge0pr  39287  sge0prle  39294  sge0split  39302  sge0p1  39307  sge0iunmptlemre  39308  sge0rpcpnf  39314  sge0rernmpt  39315  sge0isum  39320  sge0ad2en  39324  sge0xaddlem1  39326  sge0xaddlem2  39327  sge0uzfsumgt  39337  sge0seq  39339  sge0reuz  39340  voliunsge0lem  39365  meage0  39368  meassre  39370  meaiuninclem  39373  omessre  39400  omeiunltfirp  39409  carageniuncllem2  39412  carageniuncl  39413  omege0  39423  hoiprodcl  39437  hoicvrrex  39446  ovnpnfelsup  39449  ovnlerp  39452  ovnf  39453  ovn0lem  39455  ovnsubaddlem1  39460  hoiprodcl3  39470  hoidmvcl  39472  sge0hsphoire  39479  hoidmv1lelem1  39481  hoidmv1lelem2  39482  hoidmv1lelem3  39483  hoidmv1le  39484  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem4  39488  hoidmvlelem5  39489  ovnhoilem1  39491  volicorege0  39527  ovolval5lem1  39542  pimgtpnf2  39594  pimiooltgt  39598