Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dvcvx.a |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
2 | | dvcvx.c |
. . . 4
⊢ 𝐶 = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) |
3 | | dvcvx.t |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0(,)1)) |
4 | | elioore 12076 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈
ℝ) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
6 | 5, 1 | remulcld 9949 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ) |
7 | | 1re 9918 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ |
8 | | resubcl 10224 |
. . . . . . 7
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝑇
∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ) |
9 | 7, 5, 8 | sylancr 694 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈
ℝ) |
10 | | dvcvx.b |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
11 | 9, 10 | remulcld 9949 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℝ) |
12 | 6, 11 | readdcld 9948 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ ℝ) |
13 | 2, 12 | syl5eqel 2692 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
14 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
15 | 5 | recnd 9947 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
16 | 1 | recnd 9947 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
17 | 14, 15, 16 | subdird 10366 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴))) |
18 | 16 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴) |
19 | 18 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) |
20 | 17, 19 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) |
21 | | dvcvx.l |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
22 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝑇 ∧ 𝑇 < 1)) |
23 | 3, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1)) |
24 | 23 | simprd 478 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑇 < 1) |
25 | | posdif 10400 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℝ) → (𝑇 < 1
↔ 0 < (1 − 𝑇))) |
26 | 5, 7, 25 | sylancl 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇))) |
27 | 24, 26 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝑇)) |
28 | | ltmul2 10753 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((1
− 𝑇) ∈ ℝ
∧ 0 < (1 − 𝑇))) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))) |
29 | 1, 10, 9, 27, 28 | syl112anc 1322 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵))) |
30 | 21, 29 | mpbid 221 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)) |
31 | 20, 30 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵)) |
32 | 1, 6, 11 | ltsubadd2d 10504 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) < ((1 − 𝑇) · 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))) |
33 | 31, 32 | mpbid 221 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 < ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) |
34 | 33, 2 | syl6breqr 4625 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶) |
35 | 1 | leidd 10473 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴) |
36 | 10 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
37 | 14, 15, 36 | subdird 10366 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵))) |
38 | 36 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵) |
39 | 38 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐵)) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) |
40 | 37, 39 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) = (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) |
41 | 5, 10 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ) |
42 | 23 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
43 | | ltmul2 10753 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑇)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))) |
44 | 1, 10, 5, 42, 43 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵))) |
45 | 21, 44 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) < (𝑇 · 𝐵)) |
46 | 6, 41, 10, 45 | ltsub2dd 10519 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))) |
47 | 40, 46 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴))) |
48 | 6, 11, 10 | ltaddsub2d 10507 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((1 − 𝑇) · 𝐵) < (𝐵 − (𝑇 · 𝐴)))) |
49 | 47, 48 | mpbird 246 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) < 𝐵) |
50 | 2, 49 | syl5eqbr 4618 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵) |
51 | 13, 10, 50 | ltled 10064 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵) |
52 | | iccss 12112 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
53 | 1, 10, 35, 51, 52 | syl22anc 1319 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
54 | | dvcvx.f |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ)) |
55 | | rescncf 22508 |
. . . 4
⊢ ((𝐴[,]𝐶) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ))) |
56 | 53, 54, 55 | sylc 63 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)) ∈ ((𝐴[,]𝐶)–cn→ℝ)) |
57 | | ax-resscn 9872 |
. . . . . . . 8
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
59 | | cncff 22504 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ) |
60 | 54, 59 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ) |
61 | | fss 5969 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆
ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) |
62 | 60, 57, 61 | sylancl 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) |
63 | | iccssre 12126 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
64 | 1, 10, 63 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
65 | | iccssre 12126 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
66 | 1, 13, 65 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ) |
67 | | eqid 2610 |
. . . . . . . 8
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
68 | 67 | tgioo2 22414 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
69 | 67, 68 | dvres 23481 |
. . . . . . 7
⊢
(((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐶)))) |
70 | 58, 62, 64, 66, 69 | syl22anc 1319 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐴[,]𝐶)))) |
71 | | iccntr 22432 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)) |
72 | 1, 13, 71 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)) |
73 | 72 | reseq2d 5317 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))) |
74 | 70, 73 | eqtrd 2644 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))) |
75 | 74 | dmeqd 5248 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))) |
76 | | dmres 5339 |
. . . . 5
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(𝐴(,)𝐶)) = ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) |
77 | 10 | rexrd 9968 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
78 | | iooss2 12082 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
79 | 77, 51, 78 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
80 | | dvcvx.d |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊)) |
81 | | isof1o 6473 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℝ
D 𝐹) Isom < , <
((𝐴(,)𝐵), 𝑊) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊) |
82 | | f1odm 6054 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℝ
D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)–1-1-onto→𝑊 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) |
83 | 80, 81, 82 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) |
84 | 79, 83 | sseqtr4d 3605 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)) |
85 | | df-ss 3554 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴(,)𝐶) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶)) |
86 | 84, 85 | sylib 207 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐶) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐶)) |
87 | 76, 86 | syl5eq 2656 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶)) = (𝐴(,)𝐶)) |
88 | 75, 87 | eqtrd 2644 |
. . 3
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))) = (𝐴(,)𝐶)) |
89 | 1, 13, 34, 56, 88 | mvth 23559 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))) |
90 | 1, 13, 34 | ltled 10064 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶) |
91 | 10 | leidd 10473 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐵) |
92 | | iccss 12112 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
93 | 1, 10, 90, 91, 92 | syl22anc 1319 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) |
94 | | rescncf 22508 |
. . . 4
⊢ ((𝐶[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ))) |
95 | 93, 54, 94 | sylc 63 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)) ∈ ((𝐶[,]𝐵)–cn→ℝ)) |
96 | | iccssre 12126 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
97 | 13, 10, 96 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ) |
98 | 67, 68 | dvres 23481 |
. . . . . . 7
⊢
(((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐶[,]𝐵)))) |
99 | 58, 62, 64, 97, 98 | syl22anc 1319 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(𝐶[,]𝐵)))) |
100 | | iccntr 22432 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵)) |
101 | 13, 10, 100 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵)) = (𝐶(,)𝐵)) |
102 | 101 | reseq2d 5317 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))) |
103 | 99, 102 | eqtrd 2644 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))) |
104 | 103 | dmeqd 5248 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))) |
105 | | dmres 5339 |
. . . . 5
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(𝐶(,)𝐵)) = ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) |
106 | 1 | rexrd 9968 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈
ℝ*) |
107 | | iooss1 12081 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
108 | 106, 90, 107 | syl2anc 691 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
109 | 108, 83 | sseqtr4d 3605 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)) |
110 | | df-ss 3554 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐶(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵)) |
111 | 109, 110 | sylib 207 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐶(,)𝐵)) |
112 | 105, 111 | syl5eq 2656 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵)) = (𝐶(,)𝐵)) |
113 | 104, 112 | eqtrd 2644 |
. . 3
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))) = (𝐶(,)𝐵)) |
114 | 13, 10, 50, 95, 113 | mvth 23559 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) |
115 | | reeanv 3086 |
. . 3
⊢
(∃𝑥 ∈
(𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))) |
116 | 74 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥)) |
117 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) |
118 | 117 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐶))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) |
119 | 116, 118 | sylan9eq 2664 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) |
120 | 13 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈
ℝ*) |
121 | | ubicc2 12160 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶)) |
122 | 106, 120,
90, 121 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶)) |
123 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶)) |
124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶)) |
125 | | lbicc2 12159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐶 ∈
ℝ* ∧ 𝐴
≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶)) |
126 | 106, 120,
90, 125 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶)) |
127 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐶) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)) |
128 | 126, 127 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴) = (𝐹‘𝐴)) |
129 | 124, 128 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))) |
130 | 129 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))) |
131 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))) |
132 | 119, 131 | eqeq12d 2625 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)))) |
133 | 103 | fveq1d 6105 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦)) |
134 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) |
135 | 134 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) |
136 | 133, 135 | sylan9eq 2664 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) |
137 | | ubicc2 12160 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵)) |
138 | 120, 77, 51, 137 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵)) |
139 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)) |
140 | 138, 139 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹‘𝐵)) |
141 | | lbicc2 12159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐶 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ 𝐶
≤ 𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵)) |
142 | 120, 77, 51, 141 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵)) |
143 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶)) |
144 | 142, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶) = (𝐹‘𝐶)) |
145 | 140, 144 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))) |
146 | 145 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) |
147 | 146 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) |
148 | 136, 147 | eqeq12d 2625 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))) |
149 | 132, 148 | anbi12d 743 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))))) |
150 | | elioore 12076 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ) |
151 | 150 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
152 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ) |
153 | | elioore 12076 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ) |
154 | 153 | ad2antll 761 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ) |
155 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)) |
156 | 155 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)) |
157 | 156 | simprd 478 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝐶) |
158 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)) |
159 | 158 | ad2antll 761 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)) |
160 | 159 | simpld 474 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝑦) |
161 | 151, 152,
154, 157, 160 | lttrd 10077 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 < 𝑦) |
162 | 80 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (ℝ D 𝐹) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊)) |
163 | 79 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
164 | 163 | adantrr 749 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
165 | 108 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
166 | 165 | adantrl 748 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
167 | | isorel 6476 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((ℝ D 𝐹) Isom
< , < ((𝐴(,)𝐵), 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) |
168 | 162, 164,
166, 167 | syl12anc 1316 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))) |
169 | 161, 168 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) |
170 | | breq12 4588 |
. . . . . . 7
⊢
((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))) |
171 | 169, 170 | syl5ibcom 234 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))) |
172 | 53, 122 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
173 | 60, 172 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℝ) |
174 | 53, 126 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
175 | 60, 174 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ) |
176 | 173, 175 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) |
177 | 27 | gt0ne0d 10471 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ≠ 0) |
178 | 176, 9, 177 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ) |
179 | 93, 138 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) |
180 | 60, 179 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ) |
181 | 180, 173 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ) |
182 | 42 | gt0ne0d 10471 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0) |
183 | 181, 5, 182 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ) |
184 | 10, 1 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
185 | 1, 10 | posdifd 10493 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
186 | 21, 185 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) |
187 | | ltdiv1 10766 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) ∈ ℝ ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)))) |
188 | 178, 183,
184, 186, 187 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)))) |
189 | 176 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ) |
190 | 189, 15 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)))) |
191 | 173 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) |
192 | 175 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ) |
193 | 15, 191, 192 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴)))) |
194 | 190, 193 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴)))) |
195 | 181 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ) |
196 | 9 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (1 − 𝑇) ∈
ℂ) |
197 | 195, 196 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)))) |
198 | 180 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) |
199 | 196, 198,
191 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))) |
200 | 197, 199 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))) |
201 | 194, 200 | breq12d 4596 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))) |
202 | 5, 42 | jca 553 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) |
203 | 9, 27 | jca 553 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1
− 𝑇))) |
204 | | lt2mul2div 10780 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) ∧ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1
− 𝑇)))) →
((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇))) |
205 | 176, 202,
181, 203, 204 | syl22anc 1319 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) · 𝑇) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) · (1 − 𝑇)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇))) |
206 | 5, 173 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ) |
207 | 206 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ) |
208 | 9, 173 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℝ) |
209 | 208 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ) |
210 | 5, 175 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ) |
211 | 210 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ) |
212 | 207, 209,
211 | addsubd 10292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))) |
213 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℂ |
214 | | pncan3 10168 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈
ℂ) → (𝑇 + (1
− 𝑇)) =
1) |
215 | 15, 213, 214 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1) |
216 | 215 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = (1 · (𝐹‘𝐶))) |
217 | 15, 196, 191 | adddird 9944 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝐶)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶)))) |
218 | 191 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 · (𝐹‘𝐶)) = (𝐹‘𝐶)) |
219 | 216, 217,
218 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = (𝐹‘𝐶)) |
220 | 219 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴)))) |
221 | 212, 220 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) = ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴)))) |
222 | 221 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))) |
223 | 206, 210 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) ∈ ℝ) |
224 | 9, 180 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ∈ ℝ) |
225 | 223, 208,
224 | ltaddsubd 10506 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ ((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))))) |
226 | 173, 210,
224 | ltsubadd2d 10504 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
227 | 222, 225,
226 | 3bitr3d 297 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((𝑇 · (𝐹‘𝐶)) − (𝑇 · (𝐹‘𝐴))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)) − ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐶))) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
228 | 201, 205,
227 | 3bitr3d 297 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
229 | 184 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ) |
230 | 186 | gt0ne0d 10471 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0) |
231 | 189, 196,
229, 177, 230 | divdiv1d 10711 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)))) |
232 | 20 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))) |
233 | 11 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐵) ∈ ℂ) |
234 | 6 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ) |
235 | 233, 16, 234 | subsub3d 10301 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − (𝐴 − (𝑇 · 𝐴))) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴)) |
236 | 232, 235 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴)) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴)) |
237 | 196, 36, 16 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) − ((1 − 𝑇) · 𝐴))) |
238 | 234, 233 | addcomd 10117 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) |
239 | 2, 238 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐶 = (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) |
240 | 239 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = ((((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)) − 𝐴)) |
241 | 236, 237,
240 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐴)) |
242 | 241 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / ((1 − 𝑇) · (𝐵 − 𝐴))) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))) |
243 | 231, 242 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴))) |
244 | 195, 15, 229, 182, 230 | divdiv1d 10711 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) |
245 | 36, 233, 234 | subsub4d 10302 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))) |
246 | 40 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵)))) |
247 | 41 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ) |
248 | 36, 247 | nncand 10276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (𝐵 − (𝑇 · 𝐵))) = (𝑇 · 𝐵)) |
249 | 246, 248 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = (𝑇 · 𝐵)) |
250 | 249 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − ((1 − 𝑇) · 𝐵)) − (𝑇 · 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) |
251 | 245, 250 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴))) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) |
252 | 239 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐵 − (((1 − 𝑇) · 𝐵) + (𝑇 · 𝐴)))) |
253 | 15, 36, 16 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) |
254 | 251, 252,
253 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) |
255 | 254 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))) |
256 | 244, 255 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) |
257 | 243, 256 | breq12d 4596 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (1 − 𝑇)) / (𝐵 − 𝐴)) < ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / 𝑇) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)))) |
258 | 188, 228,
257 | 3bitr3rd 298 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
259 | 258 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) < (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶)) ↔ (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
260 | 171, 259 | sylibd 228 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐶) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
261 | 149, 260 | sylbid 229 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵))) → ((((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
262 | 261 | rexlimdvva 3020 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)(((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
263 | 115, 262 | syl5bir 232 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐶) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐶))‘𝐴)) / (𝐶 − 𝐴)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵)))‘𝑦) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐵))‘𝐶)) / (𝐵 − 𝐶))) → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵))))) |
264 | 89, 114, 263 | mp2and 711 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) < ((𝑇 · (𝐹‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝐵)))) |