Theorem negcld 10258

Description: Closure law for negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem negcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negcl 10160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ℂcc 9813  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  negcon1ad  10266  recextlem1  10536  mul2lt0rlt0  11808  xov1plusxeqvd  12189  ceim1l  12508  modnegd  12587  expaddzlem  12765  cjreb  13711  sqrtneg  13856  max0add  13898  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  fsumsub  14362  telfsumo2  14376  incexc  14408  incexc2  14409  fallrisefac  14595  binomrisefac  14612  efi4p  14706  oexpneg  14907  bitscmp  14998  bitsf1  15006  pcadd2  15432  gznegcl  15477  mulgdirlem  17395  mulgdir  17396  znunit  19731  cphsqrtcl2  22794  pjthlem1  23016  mbfsub  23235  iblcnlem1  23360  itgcnlem  23362  iblneg  23375  itgneg  23376  iblsub  23394  itgsub  23398  ditgcl  23428  dvrec  23524  dvmptsub  23536  dvsincos  23548  rolle  23557  vieta1lem2  23870  vieta1  23871  sinmpi  24043  cosmpi  24044  sinppi  24045  cosppi  24046  tanabsge  24062  efeq1  24079  tanord  24088  logtayl  24206  logtayl2  24208  logccv  24209  cxpneg  24227  cxpmul2z  24237  logreclem  24300  cosangneg2d  24337  isosctrlem2  24349  isosctrlem3  24350  angpieqvdlem  24355  quad2  24366  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  dcubic  24373  mcubic  24374  dquartlem1  24378  dquartlem2  24379  dquart  24380  quartlem1  24384  quartlem2  24385  quartlem3  24386  quartlem4  24387  quart  24388  asinlem  24395  asinlem2  24396  asinneg  24413  sinasin  24416  cosasin  24431  atandmneg  24433  tanatan  24446  atandmtan  24447  atantan  24450  atantayl  24464  zetacvg  24541  dmgmaddnn0  24553  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem4  24558  lgambdd  24563  lgamucov  24564  ftalem4  24602  ftalem5  24603  ftalem7  24605  basellem5  24611  chpdifbndlem1  25042  padicabvcxp  25121  brbtwn2  25585  ipasslem2  27071  pjhthlem1  27634  divnumden2  28951  archirngz  29074  madjusmdetlem4  29224  poimirlem29  32608  dvtan  32630  itg2addnclem3  32633  iblsubnc  32641  itgsubnc  32642  itgmulc2nc  32648  ftc1anclem5  32659  ftc1anclem8  32662  dvasin  32666  areacirclem1  32670  pell1234qrreccl  36436  pell14qrdich  36451  rmxyneg  36503  acongsym  36561  jm2.26a  36585  jm2.26lem3  36586  expgrowth  37556  binomcxplemdvbinom  37574  binomcxplemnotnn0  37577  sineq0ALT  38195  fzisoeu  38455  fperiodmul  38459  isumneg  38669  climneg  38677  neglimc  38714  sublimc  38719  reclimc  38720  dvcosre  38799  dvrecg  38800  dvmptdiv  38807  dvcosax  38816  itgsin0pilem1  38841  itgsinexplem1  38845  itgsincmulx  38866  stoweidlem13  38906  stirlinglem5  38971  dirkertrigeqlem3  38993  fourierdlem30  39030  fourierdlem39  39039  fourierdlem40  39040  fourierdlem41  39041  fourierdlem43  39043  fourierdlem47  39046  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem73  39072  fourierdlem78  39077  fourierdlem92  39091  fourierdlem101  39100  fourierdlem103  39102  fourierdlem111  39110  sqwvfoura  39121  fouriersw  39124  etransclem17  39144  etransclem18  39145  etransclem23  39150  etransclem46  39173  sigarms  39694  sigaradd  39704  oexpnegALTV  40126  oexpnegnz  40127  2zrngagrp  41733  altgsumbc  41923  dignn0flhalflem1  42207  amgmwlem  42357