MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossre 12106
Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossre (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ

Proof of Theorem ioossre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elioore 12076 . 2 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
21ssriv 3572 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3540  (class class class)co 6549  cr 9814  (,)cioo 12046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050
This theorem is referenced by:  ioof  12142  difreicc  12175  icopnfcld  22381  ioombl1  23137  ioorcl2  23146  uniioombllem2  23157  uniioombllem3a  23158  uniioombllem3  23159  uniioombllem4  23160  uniioombllem6  23162  ismbf3d  23227  itgsplitioo  23410  ditgeq3  23420  dvferm1lem  23551  dvferm2lem  23553  dvferm  23555  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dvle  23574  dvivthlem1  23575  dvivth  23577  lhop1lem  23580  lhop1  23581  lhop2  23582  lhop  23583  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumlem1  23593  dvfsumlem2  23594  dvfsumlem3  23595  dvfsumlem4  23596  dvfsumrlimge0  23597  dvfsumrlim  23598  dvfsumrlim2  23599  dvfsum2  23601  ftc1a  23604  ftc1cn  23610  ftc2  23611  itgsubstlem  23615  itgsubst  23616  efcvx  24007  pige3  24073  tanord  24088  divlogrlim  24181  logccv  24209  atantan  24450  amgmlem  24516  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd1a  25074  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntibndlem2a  25079  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlemd  25083  pnt  25103  padicabv  25119  cnre2csqima  29285  iooscon  30483  iccllyscon  30486  itg2gt0cn  32635  itggt0cn  32652  ftc1cnnclem  32653  ftc1cnnc  32654  ftc1anclem8  32662  ftc2nc  32664  dvreasin  32668  dvreacos  32669  areacirclem1  32670  areacirc  32675  itgpowd  36819  ioosscn  38563  ioontr  38583  iooshift  38595  ioonct  38611  iooiinicc  38616  icomnfinre  38626  iooiinioc  38630  islptre  38686  lptioo2  38698  lptioo1  38699  limcresiooub  38709  limcresioolb  38710  limcleqr  38711  lptioo2cn  38712  lptioo1cn  38713  limclner  38718  limclr  38722  icccncfext  38773  cncfiooicclem1  38779  dvmptresicc  38809  dvresioo  38811  dvbdfbdioolem1  38818  dvbdfbdioolem2  38819  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  itgsin0pilem1  38841  itgcoscmulx  38861  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  itgsbtaddcnst  38874  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem3  38998  dirkercncflem4  38999  fourierdlem16  39016  fourierdlem21  39021  fourierdlem22  39022  fourierdlem28  39028  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem56  39055  fourierdlem57  39056  fourierdlem59  39058  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem65  39064  fourierdlem72  39071  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem80  39079  fourierdlem81  39080  fourierdlem83  39082  fourierdlem84  39083  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem92  39091  fourierdlem94  39093  fourierdlem95  39094  fourierdlem97  39096  fourierdlem101  39100  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fourierdlem113  39112  fouriersw  39124  fouriercn  39125  qndenserrnbllem  39190  ioorrnopnlem  39200  ioorrnopnxrlem  39202  hspdifhsp  39506  hspmbllem2  39517  hspmbl  39519  iunhoiioolem  39566  smfresal  39673  smfpimbor1lem1  39683
  Copyright terms: Public domain W3C validator