Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem60 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem60 39059
Description: Given a differentiable function 𝐹, with finite limit of the derivative at 𝐴 the derived function 𝐻 has a limit at 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem60.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem60.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem60.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem60.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
fourierdlem60.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem60.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem60.domg (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem60.e (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
fourierdlem60.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
fourierdlem60.n 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
fourierdlem60.d 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem60 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠   𝑌,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem60
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem60.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem60.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10337 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
43rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
5 0red 9920 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 fourierdlem60.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
71, 2sublt0d 10532 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
86, 7mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) < 0)
9 fourierdlem60.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
111rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
132rexrd 9968 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
152adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 elioore 12076 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) → 𝑠 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1815, 17readdcld 9948 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ ℝ)
192recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
201recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2119, 20pncan3d 10274 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
2221eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
243adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
254adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ*)
26 0xr 9965 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ*)
28 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
29 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3025, 27, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴𝐵) < 𝑠)
3124, 17, 15, 30ltadd2dd 10075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) < (𝐵 + 𝑠))
3223, 31eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑠))
33 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 0 ∈ ℝ)
34 iooltub 38582 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3525, 27, 28, 34syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 < 0)
3617, 33, 15, 35ltadd2dd 10075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < (𝐵 + 0))
3719addid1d 10115 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
3936, 38breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) < 𝐵)
4012, 14, 18, 32, 39eliood 38567 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
42 ioossre 12106 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
44 ax-resscn 9872 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44syl6ss 3580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
46 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4746, 11, 2, 6lptioo2cn 38712 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
48 fourierdlem60.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
499, 45, 47, 48limcrecl 38696 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5049adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℝ)
5141, 50resubcld 10337 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ)
52 fourierdlem60.n . . . 4 𝑁 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
5351, 52fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝑁:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
54 fourierdlem60.d . . . 4 𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
5517, 54fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝐷:((𝐴𝐵)(,)0)⟶ℝ)
5652oveq2i 6560 . . . . . 6 (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)))
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
5857dmeqd 5248 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))))
59 reelprrecn 9907 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
6141recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
62 dvfre 23520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
639, 43, 62syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
64 fourierdlem60.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (ℝ D 𝐹))
6665feq1d 5943 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
6763, 66mpbird 246 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6867adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
6965eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = 𝐺)
7069dmeqd 5248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom 𝐺)
71 fourierdlem60.domg . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐺 = (𝐴(,)𝐵))
7270, 71eqtr2d 2645 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐴(,)𝐵) = dom (ℝ D 𝐹))
7440, 73eleqtrd 2690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7568, 74ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
76 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 ∈ ℝ)
779ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7877recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7972feq2d 5944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
8067, 79mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
8219adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
84 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
8560, 19dvmptc 23527 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
86 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℝ)
8846tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89 iooretop 22379 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)))
9160, 83, 84, 85, 87, 88, 46, 90dvmptres 23532 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
9217recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑠 ∈ ℂ)
93 recn 9905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
95 1red 9934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9660dvmptid 23526 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
9760, 94, 95, 96, 87, 88, 46, 90dvmptres 23532 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
9860, 82, 33, 91, 92, 76, 97dvmptadd 23529 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)))
99 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
10099mpteq2i 4669 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
10198, 100syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
1029feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)))
103102eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
104103oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (ℝ D 𝐹))
10580feqmptd 6159 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
106104, 69, 1053eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)))
107 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
108 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐵 + 𝑠) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
10960, 60, 40, 76, 78, 81, 101, 106, 107, 108dvmptco 23541 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)))
11075recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℂ)
111110mulid1d 9936 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
112111mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
113109, 112eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
114 limccl 23445 . . . . . . . . 9 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
115114, 48sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
116115adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
117115adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℂ)
11860, 115dvmptc 23527 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 0))
11960, 117, 84, 118, 87, 88, 46, 90dvmptres 23532 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 0))
12060, 61, 75, 113, 116, 27, 119dvmptsub 23536 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)))
121110subid1d 10260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
122121mpteq2dva 4672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
123120, 122eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
124123dmeqd 5248 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
12575ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ)
126 dmmptg 5549 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)(𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
127125, 126syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12858, 124, 1273eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑁) = ((𝐴𝐵)(,)0))
12954a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠))
130129oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (ℝ D (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)))
131130, 97eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐷) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
132131dmeqd 5248 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
13376ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ)
134 dmmptg 5549 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)1 ∈ ℝ → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
135133, 134syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = ((𝐴𝐵)(,)0))
136132, 135eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐷) = ((𝐴𝐵)(,)0))
137 eqid 2610 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)))
138 eqid 2610 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌)
139 eqid 2610 . . . . 5 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
14040adantrr 749 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)) → (𝐵 + 𝑠) ∈ (𝐴(,)𝐵))
141 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵)
142 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠)
143 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠))
14487, 44syl6ss 3580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ⊆ ℂ)
1455recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
146141, 144, 19, 145constlimc 38691 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝐵) lim 0))
147144, 142, 145idlimc 38693 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) lim 0))
148141, 142, 143, 82, 92, 146, 147addlimc 38715 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + 0) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
14937, 148eqeltrrd 2689 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐵 + 𝑠)) lim 0))
150102oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
15148, 150eleqtrd 2690 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑥)) lim 𝐵))
152 simplrr 797 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
15318, 39ltned 10052 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐵 + 𝑠) ≠ 𝐵)
154153neneqd 2787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
155154adantrr 749 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
156155adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
157152, 156condan 831 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝑌)
158140, 78, 149, 151, 107, 157limcco 23463 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐹‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
159138, 144, 115, 145constlimc 38691 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑌) lim 0))
160137, 138, 139, 61, 116, 158, 159sublimc 38719 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0))
161115subidd 10259 . . . 4 (𝜑 → (𝑌𝑌) = 0)
16252eqcomi 2619 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) = 𝑁
163162oveq1i 6559 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0)
164163a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌)) lim 0) = (𝑁 lim 0))
165160, 161, 1643eltr3d 2702 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝑁 lim 0))
166144, 54, 145idlimc 38693 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (𝐷 lim 0))
167 ubioo 12078 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)
168167a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0))
169 mptresid 5375 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 𝑠) = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0))
170129, 169syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝜑𝐷 = ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
171170rneqd 5274 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐷 = ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)))
172 rnresi 5398 . . . . 5 ran ( I ↾ ((𝐴𝐵)(,)0)) = ((𝐴𝐵)(,)0)
173171, 172syl6req 2661 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) = ran 𝐷)
174168, 173neleqtrd 2709 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐷)
175 0ne1 10965 . . . . . 6 0 ≠ 1
176175neii 2784 . . . . 5 ¬ 0 = 1
177 elsng 4139 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
1785, 177syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ {1} ↔ 0 = 1))
179176, 178mtbiri 316 . . . 4 (𝜑 → ¬ 0 ∈ {1})
180131rneqd 5274 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐷) = ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1))
181 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)
18226a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
183 ioon0 12072 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1844, 182, 183syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅ ↔ (𝐴𝐵) < 0))
1858, 184mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵)(,)0) ≠ ∅)
186181, 76, 185rnmptc 38348 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1) = {1})
187180, 186eqtr2d 2645 . . . 4 (𝜑 → {1} = ran (ℝ D 𝐷))
188179, 187neleqtrd 2709 . . 3 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐷))
18981recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
190 fourierdlem60.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝐺 lim 𝐵))
191105oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 lim 𝐵) = ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
192190, 191eleqtrd 2690 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑥)) lim 𝐵))
193 simplrr 797 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
194155adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) ∧ ¬ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸) → ¬ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)
195193, 194condan 831 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐵 + 𝑠) = 𝐵)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = 𝐸)
196140, 189, 149, 192, 108, 195limcco 23463 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0))
197110div1d 10672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
19856, 123syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
199198adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (ℝ D 𝑁) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))))
200199fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝑁)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠))
201 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
202201fvmpt2 6200 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
20328, 75, 202syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))‘𝑠) = (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)))
204200, 203eqtr2d 2645 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = ((ℝ D 𝑁)‘𝑠))
205131fveq1d 6105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
206205adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((ℝ D 𝐷)‘𝑠) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠))
207181fvmpt2 6200 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
20828, 76, 207syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ 1)‘𝑠) = 1)
209206, 208eqtr2d 2645 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → 1 = ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))
210204, 209oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) / 1) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
211197, 210eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐺‘(𝐵 + 𝑠)) = (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠)))
212211mpteq2dva 4672 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))))
213212oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (𝐺‘(𝐵 + 𝑠))) lim 0) = ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
214196, 213eleqtrd 2690 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((ℝ D 𝑁)‘𝑠) / ((ℝ D 𝐷)‘𝑠))) lim 0))
2154, 5, 8, 53, 55, 128, 136, 165, 166, 174, 188, 214lhop2 23582 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0))
21652fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) ∈ ℝ) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21728, 51, 216syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝑁𝑠) = ((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌))
21854fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
21928, 28, 218syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → (𝐷𝑠) = 𝑠)
220217, 219oveq12d 6567 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0)) → ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠)) = (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
221220mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠)))
222 fourierdlem60.h . . . 4 𝐻 = (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ (((𝐹‘(𝐵 + 𝑠)) − 𝑌) / 𝑠))
223221, 222syl6eqr 2662 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) = 𝐻)
224223oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((𝑠 ∈ ((𝐴𝐵)(,)0) ↦ ((𝑁𝑠) / (𝐷𝑠))) lim 0) = (𝐻 lim 0))
225215, 224eleqtrd 2690 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐻 lim 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cmin 10145   / cdiv 10563  (,)cioo 12046  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  fldccnfld 19567   lim climc 23432   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by:  fourierdlem74  39073
  Copyright terms: Public domain W3C validator