Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem28 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem28 39028
 Description: Derivative of (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem28.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem28.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem28.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem28.3b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem28.d 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
fourierdlem28.df (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem28 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem fourierdlem28
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 9907 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 fourierdlem28.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem28.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 9948 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
65rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
8 fourierdlem28.3b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
93, 8readdcld 9948 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
109rexrd 9968 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
123adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
13 elioore 12076 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 9948 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
164adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716rexrd 9968 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
188rexrd 9968 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 38564 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2217, 19, 20, 21syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
2316, 14, 12, 22ltadd2dd 10075 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
248adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 iooltub 38582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2617, 19, 20, 25syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
2714, 24, 12, 26ltadd2dd 10075 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
287, 11, 15, 23, 27eliood 38567 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
29 1red 9934 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
30 fourierdlem28.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32 elioore 12076 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3332adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
3431, 33ffvelrnd 6268 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
3534recnd 9947 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
36 fourierdlem28.df . . . 4 (𝜑𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
3736fnvinran 38196 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3812recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39 0red 9920 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
40 iooretop 22379 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4241tgioo2 22414 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4340, 42eleqtri 2686 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
453recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
462, 44, 45dvmptconst 38803 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑋)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
4714recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
482, 44dvmptidg 38805 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
492, 38, 39, 46, 47, 29, 48dvmptadd 23529 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)))
50 0p1e1 11009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) = 1)
5251mpteq2dva 4672 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (0 + 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5349, 52eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
5430feqmptd 6159 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
5554reseq1d 5316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
56 ioossre 12106 . . . . . . . 8 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℝ)
5857resmptd 5371 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)))
5955, 58eqtr2d 2645 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6059oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
61 fourierdlem28.d . . . . . 6 𝐷 = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
6261eqcomi 2619 . . . . 5 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = 𝐷)
6436feqmptd 6159 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
6560, 63, 643eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↦ (𝐷𝑦)))
66 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
67 fveq2 6103 . . 3 (𝑦 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐷𝑦) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
682, 2, 28, 29, 35, 37, 53, 65, 66, 67dvmptco 23541 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)))
6936adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷:((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
7069, 28ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
7170recnd 9947 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
7271mulid1d 9936 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1) = (𝐷‘(𝑋 + 𝑠)))
7372mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐷‘(𝑋 + 𝑠)) · 1)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
7468, 73eqtrd 2644 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐷‘(𝑋 + 𝑠))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  (,)cioo 12046   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fourierdlem57  39056  fourierdlem59  39058  fourierdlem68  39067
 Copyright terms: Public domain W3C validator