Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | n0 3890 |
. . 3
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
2 | | elioore 12076 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ) |
3 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ) |
4 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ) |
5 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈
ℝ) |
6 | 3, 5 | resubcld 10337 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ) |
7 | 6 | rexrd 9968 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈
ℝ*) |
8 | | eliooxr 12103 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) |
9 | 8 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈
ℝ*)) |
10 | 9 | simpld 474 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
11 | 3 | rexrd 9968 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
12 | | ltp1 10740 |
. . . . . . . . 9
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
13 | 12 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
14 | | 0red 9920 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈
ℝ) |
15 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) |
16 | | ioossre 12106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ |
17 | | ovolge0 23056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤
(vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
18 | 16, 17 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤
(vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
19 | | lep1 10741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
20 | 19 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
21 | 14, 15, 5, 18, 20 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
22 | 3, 5 | subge02d 10498 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)) |
23 | 21, 22 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) |
24 | | ovolioo 23143 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) |
25 | 6, 3, 23, 24 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) |
26 | 3 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ) |
27 | 5 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈
ℂ) |
28 | 26, 27 | nncand 10276 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
29 | 25, 28 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
30 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
31 | | iooss1 12081 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧)) |
32 | 10, 31 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧)) |
33 | 9 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
34 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)) |
35 | 34 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵)) |
36 | 35 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵) |
37 | | xrltle 11858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ*) → (𝑧 < 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝐵)) |
38 | 11, 33, 37 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝐵)) |
39 | 36, 38 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵) |
40 | | iooss2 12082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
41 | 33, 39, 40 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
42 | 41 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
43 | 32, 42 | sstrd 3578 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
44 | | ovolss 23060 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) →
(vol*‘((𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
45 | 43, 16, 44 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
46 | 30, 45 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
47 | 46 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))) |
48 | | xrlenlt 9982 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ (𝑧 −
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈
ℝ*) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)) |
49 | 10, 7, 48 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)) |
50 | 5, 15 | lenltd 10062 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) →
(((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) |
51 | 47, 49, 50 | 3imtr3d 281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) |
52 | 13, 51 | mt4d 151 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴) |
53 | 35 | simpld 474 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧) |
54 | | xrre2 11875 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ* ∧
𝐴 ∈
ℝ* ∧ 𝑧
∈ ℝ*) ∧ ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
55 | 7, 10, 11, 52, 53, 54 | syl32anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ) |
56 | 3, 5 | readdcld 9948 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ) |
57 | 56 | rexrd 9968 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈
ℝ*) |
58 | 3, 5 | addge01d 10494 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) |
59 | 21, 58 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) |
60 | | ovolioo 23143 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧)) |
61 | 3, 56, 59, 60 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧)) |
62 | 26, 27 | pncan2d 10273 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
63 | 61, 62 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
64 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) |
65 | | iooss2 12082 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝑧 +
((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵)) |
66 | 33, 65 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵)) |
67 | | xrltle 11858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ∈
ℝ*) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧)) |
68 | 10, 11, 67 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧)) |
69 | 53, 68 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧) |
70 | | iooss1 12081 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
71 | 10, 69, 70 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
72 | 71 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
73 | 66, 72 | sstrd 3578 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
74 | | ovolss 23060 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
75 | 73, 16, 74 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
76 | 64, 75 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵))) |
77 | 76 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))) |
78 | | xrlenlt 9982 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ* ∧
𝐵 ∈
ℝ*) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) |
79 | 57, 33, 78 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) |
80 | 77, 79, 50 | 3imtr3d 281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) |
81 | 13, 80 | mt4d 151 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) |
82 | | xrre2 11875 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑧 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ*) ∧
(𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ) |
83 | 11, 33, 57, 36, 81, 82 | syl32anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ) |
84 | 55, 83 | jca 553 |
. . . . 5
⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |
85 | 84 | ex 449 |
. . . 4
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) |
86 | 85 | exlimiv 1845 |
. . 3
⊢
(∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) |
87 | 1, 86 | sylbi 206 |
. 2
⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))) |
88 | 87 | imp 444 |
1
⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |