Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cvgdvgrat.w |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑊 =
(ℤ≥‘𝑁) |
2 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . 9
⊢
(ℤ≥‘𝑛) = (ℤ≥‘𝑛) |
3 | | elioore 12076 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) → 𝑟 ∈ ℝ) |
4 | 3 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 ∈ ℝ) |
5 | | cvgdvgrat.n |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍) |
6 | | cvgdvgrat.z |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑀) |
7 | 5, 6 | syl6eleq 2698 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
8 | | eluzelz 11573 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ) |
9 | 7, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
10 | | cvgdvgrat.cvg |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝐿) |
11 | | cvgdvgrat.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑘 ∈ 𝑊 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))))) |
13 | 1 | peano2uzs 11618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) |
14 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 + 1) ∈ V |
15 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ 𝑊 ↔ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊)) |
16 | 15 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊))) |
17 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑖) = (𝐹‘(𝑘 + 1))) |
18 | 17 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)) |
19 | 16, 18 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ))) |
20 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑖 ∈ 𝑊)) |
21 | 20 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊))) |
22 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖)) |
23 | 22 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)) |
24 | 21, 23 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ))) |
25 | 1 | eleq2i 2680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 ∈ 𝑊 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
26 | 6 | uztrn2 11581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
27 | 5, 26 | sylan 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
28 | 25, 27 | sylan2b 491 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
29 | | cvgdvgrat.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
30 | 28, 29 | syldan 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
31 | 24, 30 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) |
32 | 14, 19, 31 | vtocl 3232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
33 | 13, 32 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
34 | | cvgdvgrat.n0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
35 | 33, 30, 34 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
36 | 35 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
37 | 12, 36 | fvmpt2d 6202 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) |
38 | 37, 36 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ) |
39 | 1, 9, 10, 38 | climrecl 14162 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ) |
40 | 39 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈
ℝ*) |
41 | | 1re 9918 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℝ |
42 | 41 | rexri 9976 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ* |
43 | | elioo2 12087 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ*
∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))) |
44 | 40, 42, 43 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (𝐿(,)1) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1))) |
45 | 44 | biimpa 500 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝐿 < 𝑟 ∧ 𝑟 < 1)) |
46 | 45 | simp3d 1068 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑟 < 1) |
47 | 46 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑟 < 1) |
48 | | simplr 788 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → 𝑛 ∈ 𝑊) |
49 | 31 | ex 449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)) |
50 | 49 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)) |
51 | 50 | imp 444 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) |
52 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 + 1) = (𝑖 + 1)) |
53 | 52 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1))) |
54 | 53 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))) |
55 | 22 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘(𝐹‘𝑖))) |
56 | 55 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))) |
57 | 54, 56 | breq12d 4596 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖))))) |
58 | 57 | rspccva 3281 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))) |
59 | 58 | adantll 746 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑖)))) |
60 | 1, 2, 4, 47, 48, 51, 59 | cvgrat 14454 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
61 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
62 | 45 | simp2d 1067 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝐿 < 𝑟) |
63 | | difrp 11744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈
ℝ+)) |
64 | 39, 3, 63 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝐿 < 𝑟 ↔ (𝑟 − 𝐿) ∈
ℝ+)) |
65 | 62, 64 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (𝑟 − 𝐿) ∈
ℝ+) |
66 | 37 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) |
67 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → 𝑅 ⇝ 𝐿) |
68 | 1, 61, 65, 66, 67 | climi2 14090 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) |
69 | 1 | uztrn2 11581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ 𝑊) |
70 | 69, 33 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
71 | 70 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
72 | 71 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
73 | 72 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
74 | 73 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) |
75 | 3 | ad4antlr 765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℝ) |
76 | 69, 30 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
77 | 76 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
78 | 77 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
80 | 79 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) |
81 | 75, 80 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
82 | 69, 34 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
83 | 82 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
84 | 83 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
85 | 84 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
86 | 73, 79, 85 | absdivd 14042 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
87 | 72, 78, 84 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
88 | 87 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
89 | 39 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
90 | 88, 89 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ) |
91 | 3 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑟 ∈ ℝ) |
92 | 91, 89 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑟 − 𝐿) ∈ ℝ) |
93 | 90, 92 | absltd 14016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) →
((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) ↔ (-(𝑟 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)))) |
94 | 93 | simplbda 652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿)) |
95 | 73, 79, 85 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
96 | 95 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
97 | 39 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
98 | 96, 75, 97 | ltsub1d 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝑟 − 𝐿))) |
99 | 94, 98 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) < 𝑟) |
100 | 86, 99 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟) |
101 | 79, 85 | absrpcld 14035 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈
ℝ+) |
102 | 74, 75, 101 | ltdivmuld 11799 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟))) |
103 | 100, 102 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟)) |
104 | 101 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
105 | 75 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → 𝑟 ∈ ℂ) |
106 | 104, 105 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · 𝑟) = (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
107 | 103, 106 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) < (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
108 | 74, 81, 107 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
109 | 108 | ex 449 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) →
((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))) |
110 | 109 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))) |
111 | 110 | reximdva 3000 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝑟 − 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘))))) |
112 | 68, 111 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝑟 · (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
113 | 60, 112 | r19.29a 3060 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐿(,)1)) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
114 | 113 | ralrimiva 2949 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
115 | 114 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
116 | | ioon0 12072 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐿 ∈ ℝ*
∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1)) |
117 | 40, 42, 116 | sylancl 693 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐿(,)1) ≠ ∅ ↔ 𝐿 < 1)) |
118 | 117 | biimpar 501 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (𝐿(,)1) ≠ ∅) |
119 | | r19.3rzv 4016 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐿(,)1) ≠ ∅ →
(seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔
∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐿(,)1)seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
121 | 115, 120 | mpbird 246 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
122 | 6, 5, 29 | iserex 14235 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
123 | 122 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
124 | 121, 123 | mpbird 246 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 < 1) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
125 | 124 | ex 449 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
126 | | cvgdvgrat.n1 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 1) |
127 | | 1red 9934 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
128 | 39, 127 | lttri2d 10055 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐿 ≠ 1 ↔ (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿))) |
129 | 126, 128 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ∨ 1 < 𝐿)) |
130 | 129 | orcanai 950 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → 1 < 𝐿) |
131 | | simplr 788 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝑛 ∈ 𝑊) |
132 | | cvgdvgrat.f |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉) |
133 | 132 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → 𝐹 ∈ 𝑉) |
134 | 49 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → (𝑖 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ)) |
135 | 134 | imp 444 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℂ) |
136 | 1 | uztrn2 11581 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ 𝑊) |
137 | 22 | neeq1d 2841 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝑖) ≠ 0)) |
138 | 21, 137 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0))) |
139 | 138, 34 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑊) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0) |
140 | 136, 139 | sylan2 490 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0) |
141 | 140 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0) |
142 | 141 | adantllr 751 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0) |
143 | 142 | adantlr 747 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0) |
144 | 55, 54 | breq12d 4596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1))))) |
145 | 144 | rspccva 3281 |
. . . . . . . . 9
⊢
((∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))) |
146 | 145 | adantll 746 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑖)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑖 + 1)))) |
147 | 1, 2, 131, 133, 135, 143, 146 | dvgrat 37533 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ) |
148 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑁 ∈ ℤ) |
149 | | difrp 11744 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 𝐿
∈ ℝ) → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈
ℝ+)) |
150 | 41, 39, 149 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 < 𝐿 ↔ (𝐿 − 1) ∈
ℝ+)) |
151 | 150 | biimpa 500 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈
ℝ+) |
152 | 37 | adantlr 747 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑘 ∈ 𝑊) → (𝑅‘𝑘) = (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) |
153 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → 𝑅 ⇝ 𝐿) |
154 | 1, 148, 151, 152, 153 | climi2 14090 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) |
155 | 77 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
156 | 155 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
157 | 156 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) |
158 | 71 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
159 | 158 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ) |
160 | 159 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) |
161 | 83 | adantllr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
162 | 161 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0) |
163 | 156, 162 | absrpcld 14035 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈
ℝ+) |
164 | 163 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
165 | 164 | mulid2d 9937 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 ·
(abs‘(𝐹‘𝑘))) = (abs‘(𝐹‘𝑘))) |
166 | 39 | ad4antr 764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
167 | 166 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℂ) |
168 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈
ℂ) |
169 | 167, 168 | negsubdi2d 10287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) = (1 − 𝐿)) |
170 | 158, 155,
161 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
171 | 170 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
172 | 39 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
173 | 171, 172 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∈ ℝ) |
174 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 1 ∈
ℝ) |
175 | 172, 174 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐿 − 1) ∈ ℝ) |
176 | 173, 175 | absltd 14016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) →
((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) ↔ (-(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) ∧ ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿) < (𝐿 − 1)))) |
177 | 176 | simprbda 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → -(𝐿 − 1) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) |
178 | 169, 177 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) |
179 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
180 | 159, 156,
162 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) |
181 | 180 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ∈ ℝ) |
182 | 179, 181,
166 | ltsub1d 10515 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 <
(abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) ↔ (1 − 𝐿) < ((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿))) |
183 | 178, 182 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 <
(abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) |
184 | 159, 156,
162 | absdivd 14042 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
185 | 183, 184 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → 1 <
((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘)))) |
186 | 179, 160,
163 | ltmuldivd 11795 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → ((1 ·
(abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ 1 < ((abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (abs‘(𝐹‘𝑘))))) |
187 | 185, 186 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (1 ·
(abs‘(𝐹‘𝑘))) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) |
188 | 165, 187 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) < (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) |
189 | 157, 160,
188 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 1 <
𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) ∧
(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1)) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) |
190 | 189 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) →
((abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))) |
191 | 190 | ralimdva 2945 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) ∧ 𝑛 ∈ 𝑊) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))) |
192 | 191 | reximdva 3000 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) − 𝐿)) < (𝐿 − 1) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))))) |
193 | 154, 192 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ∃𝑛 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1)))) |
194 | 147, 193 | r19.29a 3060 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ) |
195 | | df-nel 2783 |
. . . . . 6
⊢ (seq𝑁( + , 𝐹) ∉ dom ⇝ ↔ ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
196 | 194, 195 | sylib 207 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
197 | 122 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → (seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
198 | 196, 197 | mtbird 314 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 1 < 𝐿) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
199 | 130, 198 | syldan 486 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 < 1) → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) |
200 | 199 | ex 449 |
. 2
⊢ (𝜑 → (¬ 𝐿 < 1 → ¬ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |
201 | 125, 200 | impcon4bid 216 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐿 < 1 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )) |