Theorem uztrn2 11581

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2680	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 11580	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 488	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	syl6eleqr 2699	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  eluznn0  11633  eluznn  11634  elfzuz2  12217  rexuz3  13936  r19.29uz  13938  r19.2uz  13939  clim2  14083  clim2c  14084  clim0c  14086  rlimclim1  14124  2clim  14151  climabs0  14164  climcn1  14170  climcn2  14171  climsqz  14219  climsqz2  14220  clim2ser  14233  clim2ser2  14234  climub  14240  climsup  14248  caurcvg2  14256  serf0  14259  iseraltlem1  14260  iseralt  14263  cvgcmp  14389  cvgcmpce  14391  isumsup2  14417  mertenslem1  14455  clim2div  14460  ntrivcvgfvn0  14470  ntrivcvgmullem  14472  fprodeq0  14544  lmbrf  20874  lmss  20912  lmres  20914  txlm  21261  uzrest  21511  lmmcvg  22867  lmmbrf  22868  iscau4  22885  iscauf  22886  caucfil  22889  iscmet3lem3  22896  iscmet3lem1  22897  lmle  22907  lmclim  22909  mbflimsup  23239  ulm2  23943  ulmcaulem  23952  ulmcau  23953  ulmss  23955  ulmdvlem1  23958  ulmdvlem3  23960  mtest  23962  itgulm  23966  logfaclbnd  24747  bposlem6  24814  caures  32726  caushft  32727  dvgrat  37533  cvgdvgrat  37534  climinf  38673  clim2f  38703  clim2cf  38717  clim0cf  38721  clim2f2  38737  fnlimfvre  38741  allbutfifvre  38742  smflimlem1  39657  smflimlem2  39658  smflimlem3  39659