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Theorem cvgdvgrat 31441
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio  R of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F converges to less than one, then the infinite sum of the terms of  F converges to a complex number; and if  R converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 13795 and dvgrat 31440 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 13437 and absltd 13364 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191, and how to use r19.29a 2999 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 2949 at https://groups.google.com/forum/#!topic/metamath/2RPikOiXLMo.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgdvgrat.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgdvgrat.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgdvgrat.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
cvgdvgrat.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgdvgrat.n0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
cvgdvgrat.r  |-  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
cvgdvgrat.cvg  |-  ( ph  ->  R  ~~>  L )
cvgdvgrat.n1  |-  ( ph  ->  L  =/=  1 )
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  <->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, F    k, L    k, N    k, W    R, k    k, M   
k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables  i  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3 elioore 11584 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ( L (,) 1 )  ->  r  e.  RR )
43ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
r  e.  RR )
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleq 2555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8 eluzelz 11115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  ~~>  L )
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) ) ) )
131peano2uzs 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
15 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  e.  W  <->  ( k  +  1 )  e.  W ) )
1615anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  W )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W ) ) )
17 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1817eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) ) )
20 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  W  <->  i  e.  W ) )
2120anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  W )  <->  ( ph  /\  i  e.  W ) ) )
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2322eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  i )  e.  CC ) )
2421, 23imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) ) )
251eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  W  <->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
266uztrn2 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
275, 26sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
2825, 27sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3028, 29syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3124, 30chvarv 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3214, 19, 31vtocl 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3313, 32sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
3533, 30, 34divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) )  e.  CC )
3635abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
3712, 36fvmpt2d 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
3837, 36eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
391, 9, 10, 38climrecl 13509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4039rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
41 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4241rexri 9663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
43 elioo2 11595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
r  e.  ( L (,) 1 )  <->  ( r  e.  RR  /\  L  < 
r  /\  r  <  1 ) ) )
4440, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( L (,) 1 )  <-> 
( r  e.  RR  /\  L  <  r  /\  r  <  1 ) ) )
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( r  e.  RR  /\  L  < 
r  /\  r  <  1 ) )
4645simp3d 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  r  <  1 )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
r  <  1 )
48 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  ->  n  e.  W )
4931ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  W  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) )
5049ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
( i  e.  W  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) )
5150imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )
52 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
5522fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( abs `  ( F `  i )
) )
5655oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
r  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  =  ( r  x.  ( abs `  ( F `  i ) ) ) )
5754, 56breq12d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <->  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) )  <_  (
r  x.  ( abs `  ( F `  i
) ) ) ) )
5857rspccva 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) )  <_  (
r  x.  ( abs `  ( F `  i
) ) ) )
5958adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  i )
) ) )
601, 2, 4, 47, 48, 51, 59cvgrat 13795 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
619adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
6245simp2d 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  L  <  r )
63 difrp 11278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( L  <  r  <->  ( r  -  L )  e.  RR+ ) )
6439, 3, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( L  <  r  <->  ( r  -  L )  e.  RR+ ) )
6562, 64mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( r  -  L )  e.  RR+ )
6637adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1
) )  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
6710adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  R  ~~>  L )
681, 61, 65, 66, 67climi2 13437 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )
691uztrn2 11123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  W )
7069, 33sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7170anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7271adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7473abscld 13370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
753ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  r  e.  RR )
7669, 30sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7776anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7877adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8079abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
8175, 80remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
8269, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
8382anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8483adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8673, 79, 85absdivd 13389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
8772, 78, 84divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
8887abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
8939ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  L  e.  RR )
9088, 89resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  e.  RR )
913ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  r  e.  RR )
9291, 89resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( r  -  L )  e.  RR )
9390, 92absltd 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  <->  ( -u (
r  -  L )  <  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  /\  ( ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  -  L )  <  (
r  -  L ) ) ) )
9493simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  <  ( r  -  L ) )
9573, 79, 85divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
9695abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
9739ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  L  e.  RR )
9896, 75, 97ltsub1d 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  <  r  <->  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L )  <  ( r  -  L ) ) )
9994, 98mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  <  r )
10086, 99eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  r )
10179, 85absrpcld 13382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR+ )
10274, 75, 101ltdivmuld 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  r  <->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  r
) ) )
103100, 102mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  x.  r ) )
104101rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC )
10575recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  r  e.  CC )
106104, 105mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  r
)  =  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
107103, 106breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
10874, 81, 107ltled 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
109108ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
110109ralimdva 2865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1
) )  /\  n  e.  W )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
111110reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
11268, 111mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
11360, 112r19.29a 2999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
114113ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
115114adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  A. r  e.  ( L (,) 1
)  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
116 ioon0 11580 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( L (,) 1
)  =/=  (/)  <->  L  <  1 ) )
11740, 42, 116sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L (,) 1 )  =/=  (/)  <->  L  <  1 ) )
118117biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  ( L (,) 1 )  =/=  (/) )
119 r19.3rzv 3925 . . . . . 6  |-  ( ( L (,) 1 )  =/=  (/)  ->  (  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
120118, 119syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  (  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
121115, 120mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
1226, 5, 29iserex 13582 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
123122adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
124121, 123mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
125124ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  ) )
126 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  =/=  1 )
127 1red 9628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
12839, 127lttri2d 9741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  =/=  1  <->  ( L  <  1  \/  1  <  L ) ) )
129126, 128mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  \/  1  <  L ) )
130129orcanai 913 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  L  <  1 )  ->  1  <  L )
131 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  W )
132 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
133132ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F  e.  V )
13449ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  W  -> 
( F `  i
)  e.  CC ) )
135134imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )
1361uztrn2 11123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  W  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  W )
13722neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  =/=  0  <->  ( F `  i )  =/=  0 ) )
13821, 137imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k
)  =/=  0 )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  =/=  0 ) ) )
139138, 34chvarv 2015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i )  =/=  0 )
140136, 139sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  i )  =/=  0 )
141140anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  i )  =/=  0
)
142141adantllr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  i )  =/=  0
)
143142adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( F `  i
)  =/=  0 )
14455, 54breq12d 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  i
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
145144rspccva 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( F `  i
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
146145adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( abs `  ( F `  i )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) ) )
1471, 2, 131, 133, 135, 143, 146dvgrat 31440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  )
1489adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  N  e.  ZZ )
149 difrp 11278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 1  <  L  <->  ( L  -  1 )  e.  RR+ ) )
15041, 39, 149sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <  L  <->  ( L  -  1 )  e.  RR+ ) )
151150biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  ( L  -  1 )  e.  RR+ )
15237adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
15310adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  R  ~~>  L )
1541, 148, 151, 152, 153climi2 13437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )
15577adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
156155adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
157156abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
15871adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
160159abscld 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
16183adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
163156, 162absrpcld 13382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR+ )
164163rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC )
165164mulid2d 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
16639ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  RR )
167166recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  CC )
168 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
169167, 168negsubdi2d 9966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  -u ( L  - 
1 )  =  ( 1  -  L ) )
170158, 155, 161divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
171170abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
17239ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  L  e.  RR )
173171, 172resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  e.  RR )
174 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  1  e.  RR )
175172, 174resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( L  - 
1 )  e.  RR )
176173, 175absltd 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  <->  ( -u ( L  -  1 )  <  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  /\  ( ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  -  L )  <  ( L  -  1 ) ) ) )
177176simprbda 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  -u ( L  - 
1 )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )
178169, 177eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  -  L )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )
179 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
180159, 156, 162divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
181180abscld 13370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
182179, 181, 166ltsub1d 10182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  < 
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  <->  ( 1  -  L )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) ) )
183178, 182mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  <  ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) ) )
184159, 156, 162absdivd 13389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
185183, 184breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  <  (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
186179, 160, 163ltmuldivd 11324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  1  <  ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k
) ) ) ) )
187185, 186mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
188165, 187eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
189157, 160, 188ltled 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
190189ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
191190ralimdva 2865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  - 
1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
192191reximdva 2932 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  ( E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
193154, 192mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
194147, 193r19.29a 2999 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  )
195 df-nel 2655 . . . . . 6  |-  (  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  <->  -.  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
196194, 195sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  -.  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
197122adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
198196, 197mtbird 301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  -.  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
199130, 198syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  <  1 )  ->  -.  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
200199ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  L  <  1  ->  -.  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
201125, 200impcon4bid 205 1  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  <->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554    seqcseq 12110   abscabs 13170    ~~> cli 13410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-shft 13003  df-cj 13035  df-re 13036  df-im 13037  df-sqrt 13171  df-abs 13172  df-limsup 13397  df-clim 13414  df-rlim 13415  df-sum 13612
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