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Theorem cvgdvgrat 36303
Description: Ratio test for convergence and divergence of a complex infinite series. If the ratio  R of the absolute values of successive terms in an infinite sequence  F converges to less than one, then the infinite sum of the terms of  F converges to a complex number; and if  R converges greater then the sum diverges. This combined form of cvgrat 13906 and dvgrat 36302 directly uses the limit of the ratio.

(It also demonstrates how to use climi2 13542 and absltd 13459 to transform a limit to an inequality cf. https://math.stackexchange.com/q/2215191, and how to use r19.29a 2968 in a similar fashion to Mario Carneiro's proof sketch with rexlimdva 2915 at https://groups.google.com/forum/#!topic/metamath/2RPikOiXLMo.) (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Feb-2020.)

Hypotheses
Ref Expression
cvgdvgrat.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
cvgdvgrat.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
cvgdvgrat.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
cvgdvgrat.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
cvgdvgrat.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
cvgdvgrat.n0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
cvgdvgrat.r  |-  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
cvgdvgrat.cvg  |-  ( ph  ->  R  ~~>  L )
cvgdvgrat.n1  |-  ( ph  ->  L  =/=  1 )
Assertion
Ref Expression
cvgdvgrat  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  <->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, F    k, L    k, N    k, W    R, k    k, M   
k, Z
Allowed substitution hint:    V( k)

Proof of Theorem cvgdvgrat
Dummy variables  i  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvgdvgrat.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  n )  =  (
ZZ>= `  n )
3 elioore 11655 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  ( L (,) 1 )  ->  r  e.  RR )
43ad3antlr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
r  e.  RR )
5 cvgdvgrat.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
6 cvgdvgrat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6syl6eleq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
8 eluzelz 11157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 cvgdvgrat.cvg . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  ~~>  L )
11 cvgdvgrat.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  R  =  ( k  e.  W  |->  ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) ) ) )
131peano2uzs 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  W  ->  (
k  +  1 )  e.  W )
14 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
15 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  e.  W  <->  ( k  +  1 )  e.  W ) )
1615anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  W )  <->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W ) ) )
17 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1817eleq1d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  i
)  e.  CC  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) )
1916, 18imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC ) ) )
20 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
k  e.  W  <->  i  e.  W ) )
2120anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
( ph  /\  k  e.  W )  <->  ( ph  /\  i  e.  W ) ) )
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  k )  =  ( F `  i ) )
2322eleq1d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  e.  CC  <->  ( F `  i )  e.  CC ) )
2421, 23imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) ) )
251eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  W  <->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
266uztrn2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  Z )
275, 26sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  Z )
2825, 27sylan2b 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  k  e.  Z )
29 cvgdvgrat.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3028, 29syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3124, 30chvarv 2067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i )  e.  CC )
3214, 19, 31vtocl 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3313, 32sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
34 cvgdvgrat.n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
3533, 30, 34divcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) )  e.  CC )
3635abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
3712, 36fvmpt2d 5966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
3837, 36eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
391, 9, 10, 38climrecl 13614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
4039rexrd 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
41 1re 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4241rexri 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR*
43 elioo2 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
r  e.  ( L (,) 1 )  <->  ( r  e.  RR  /\  L  < 
r  /\  r  <  1 ) ) )
4440, 42, 43sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( L (,) 1 )  <-> 
( r  e.  RR  /\  L  <  r  /\  r  <  1 ) ) )
4544biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( r  e.  RR  /\  L  < 
r  /\  r  <  1 ) )
4645simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  r  <  1 )
4746ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
r  <  1 )
48 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  ->  n  e.  W )
4931ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( i  e.  W  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) )
5049ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  -> 
( i  e.  W  ->  ( F `  i
)  e.  CC ) )
5150imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )
52 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
k  +  1 )  =  ( i  +  1 ) )
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
5453fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
5522fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( abs `  ( F `  k ) )  =  ( abs `  ( F `  i )
) )
5655oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
r  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) )  =  ( r  x.  ( abs `  ( F `  i ) ) ) )
5754, 56breq12d 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <->  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) )  <_  (
r  x.  ( abs `  ( F `  i
) ) ) ) )
5857rspccva 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) )  <_  (
r  x.  ( abs `  ( F `  i
) ) ) )
5958adantll 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  i )
) ) )
601, 2, 4, 47, 48, 51, 59cvgrat 13906 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
619adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  N  e.  ZZ )
6245simp2d 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  L  <  r )
63 difrp 11326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  ( L  <  r  <->  ( r  -  L )  e.  RR+ ) )
6439, 3, 63syl2an 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( L  <  r  <->  ( r  -  L )  e.  RR+ ) )
6562, 64mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( r  -  L )  e.  RR+ )
6637adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1
) )  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
6710adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  R  ~~>  L )
681, 61, 65, 66, 67climi2 13542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )
691uztrn2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
k  e.  W )
7069, 33sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7170anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7271adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7473abscld 13465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
753ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  r  e.  RR )
7669, 30sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7776anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7877adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
8079abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
8175, 80remulcld 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  e.  RR )
8269, 34sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  k )  =/=  0 )
8382anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8483adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8584adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
8673, 79, 85absdivd 13484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
8772, 78, 84divcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
8887abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
8939ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  L  e.  RR )
9088, 89resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  e.  RR )
913ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  r  e.  RR )
9291, 89resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( r  -  L )  e.  RR )
9390, 92absltd 13459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  <->  ( -u (
r  -  L )  <  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  /\  ( ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  -  L )  <  (
r  -  L ) ) ) )
9493simplbda 628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  <  ( r  -  L ) )
9573, 79, 85divcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
9695abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
9739ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  L  e.  RR )
9896, 75, 97ltsub1d 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  <  r  <->  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L )  <  ( r  -  L ) ) )
9994, 98mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  <  r )
10086, 99eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k ) ) )  <  r )
10179, 85absrpcld 13477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR+ )
10274, 75, 101ltdivmuld 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  r  <->  ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  r
) ) )
103100, 102mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 k ) )  x.  r ) )
104101rpcnd 11332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC )
10575recnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  r  e.  CC )
106104, 105mulcomd 9653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  r
)  =  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
107103, 106breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
10874, 81, 107ltled 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
109108ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  -> 
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
110109ralimdva 2831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  ( L (,) 1
) )  /\  n  e.  W )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
111110reximdva 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  ( E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( r  -  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) ) )
11268, 111mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( r  x.  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
11360, 112r19.29a 2968 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  r  e.  ( L (,) 1 ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
114113ralrimiva 2837 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
115114adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  A. r  e.  ( L (,) 1
)  seq N (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
116 ioon0 11651 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( L (,) 1
)  =/=  (/)  <->  L  <  1 ) )
11740, 42, 116sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( L (,) 1 )  =/=  (/)  <->  L  <  1 ) )
118117biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  ( L (,) 1 )  =/=  (/) )
119 r19.3rzv 3887 . . . . . 6  |-  ( ( L (,) 1 )  =/=  (/)  ->  (  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
120118, 119syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  (  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  A. r  e.  ( L (,) 1 )  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
121115, 120mpbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
1226, 5, 29iserex 13687 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
123122adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
124121, 123mpbird 235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  1 )  ->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
125124ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  ) )
126 cvgdvgrat.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  =/=  1 )
127 1red 9647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
12839, 127lttri2d 9763 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  =/=  1  <->  ( L  <  1  \/  1  <  L ) ) )
129126, 128mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  \/  1  <  L ) )
130129orcanai 921 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  L  <  1 )  ->  1  <  L )
131 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  n  e.  W )
132 cvgdvgrat.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
133132ad3antrrr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  F  e.  V )
13449ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (
i  e.  W  -> 
( F `  i
)  e.  CC ) )
135134imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  e.  CC )
1361uztrn2 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  W  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
i  e.  W )
13722neeq1d 2699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  (
( F `  k
)  =/=  0  <->  ( F `  i )  =/=  0 ) )
13821, 137imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  W )  ->  ( F `  k
)  =/=  0 )  <-> 
( ( ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i
)  =/=  0 ) ) )
139138, 34chvarv 2067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  W )  ->  ( F `  i )  =/=  0 )
140136, 139sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  W  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
) )  ->  ( F `  i )  =/=  0 )
141140anassrs 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  W )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( F `  i )  =/=  0
)
142141adantllr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  i )  =/=  0
)
143142adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( F `  i
)  =/=  0 )
14455, 54breq12d 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( abs `  ( F `  i
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
145144rspccva 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( abs `  ( F `  i
) )  <_  ( abs `  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
146145adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  n ) )  -> 
( abs `  ( F `  i )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
i  +  1 ) ) ) )
1471, 2, 131, 133, 135, 143, 146dvgrat 36302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  )
1489adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  N  e.  ZZ )
149 difrp 11326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 1  <  L  <->  ( L  -  1 )  e.  RR+ ) )
15041, 39, 149sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <  L  <->  ( L  -  1 )  e.  RR+ ) )
151150biimpa 486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  ( L  -  1 )  e.  RR+ )
15237adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  k  e.  W )  ->  ( R `  k )  =  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) ) )
15310adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  R  ~~>  L )
1541, 148, 151, 152, 153climi2 13542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )
15577adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
156155adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
157156abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR )
15871adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
160159abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
16183adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
162161adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( F `  k )  =/=  0
)
163156, 162absrpcld 13477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  RR+ )
164163rpcnd 11332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  e.  CC )
165164mulid2d 9650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
16639ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  RR )
167166recnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  CC )
168 1cnd 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  e.  CC )
169167, 168negsubdi2d 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  -u ( L  - 
1 )  =  ( 1  -  L ) )
170158, 155, 161divcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
171170abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
17239ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  L  e.  RR )
173171, 172resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  e.  RR )
174 1red 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  1  e.  RR )
175172, 174resubcld 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( L  - 
1 )  e.  RR )
176173, 175absltd 13459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  <->  ( -u ( L  -  1 )  <  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k )
) )  -  L
)  /\  ( ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) )  -  L )  <  ( L  -  1 ) ) ) )
177176simprbda 627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  -u ( L  - 
1 )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )
178169, 177eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  -  L )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )
179 1red 9647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  e.  RR )
180159, 156, 162divcld 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) )  e.  CC )
181180abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
182179, 181, 166ltsub1d 10211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  < 
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  <->  ( 1  -  L )  <  (
( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) ) )
183178, 182mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  <  ( abs `  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  / 
( F `  k
) ) ) )
184159, 156, 162absdivd 13484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k )
) ) )
185183, 184breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  1  <  (
( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
186179, 160, 163ltmuldivd 11374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  1  <  ( ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( F `  k
) ) ) ) )
187185, 186mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( 1  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  <  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
188165, 187eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
189157, 160, 188ltled 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  /\  ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
190189ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  -> 
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
191190ralimdva 2831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  1  <  L )  /\  n  e.  W )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( ( abs `  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  /  ( F `  k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  - 
1 )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
192191reximdva 2898 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  ( E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( abs `  (
( F `  (
k  +  1 ) )  /  ( F `
 k ) ) )  -  L ) )  <  ( L  -  1 )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( abs `  ( F `
 k ) )  <_  ( abs `  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
193154, 192mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  E. n  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( abs `  ( F `  k )
)  <_  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
194147, 193r19.29a 2968 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  )
195 df-nel 2619 . . . . . 6  |-  (  seq N (  +  ,  F )  e/  dom  ~~>  <->  -.  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
196194, 195sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  -.  seq N
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
197122adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq N (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
198196, 197mtbird 302 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  1  <  L )  ->  -.  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  )
199130, 198syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  L  <  1 )  ->  -.  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
200199ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  L  <  1  ->  -.  seq M
(  +  ,  F
)  e.  dom  ~~>  ) )
201125, 200impcon4bid 208 1  |-  ( ph  ->  ( L  <  1  <->  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616    e/ wnel 2617   A.wral 2773   E.wrex 2774   (/)c0 3758   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   -ucneg 9850    / cdiv 10258   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   RR+crp 11291   (,)cioo 11624    seqcseq 12199   abscabs 13265    ~~> cli 13515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-shft 13098  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720
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