MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi2d 10287
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negsubdi2d (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 negsubdi2 10219 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  cmin 10145  -cneg 10146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148
This theorem is referenced by:  cjneg  13735  icodiamlt  14022  geo2sum2  14444  bpoly3  14628  sinneg  14715  sinhval  14723  vitalilem1  23182  vitalilem1OLD  23183  vitalilem2  23184  itgneg  23376  dvrec  23524  dvferm2lem  23553  dvfsumge  23589  dvfsumlem2  23594  dvfsum2  23601  ftc1lem5  23607  ftc2ditg  23613  plyeq0lem  23770  efif1olem2  24093  ang180  24344  isosctrlem3  24350  isosctr  24351  angpieqvdlem  24355  chordthmlem  24359  mcubic  24374  quart1lem  24382  quartlem1  24384  atanneg  24434  atancj  24437  efiatan  24439  atanlogsub  24443  efiatan2  24444  2efiatan  24445  atantan  24450  atanbndlem  24452  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntibndlem2  25080  brbtwn2  25585  colinearalglem4  25589  axsegconlem9  25605  dipcj  26953  bcm1n  28941  signsplypnf  29953  dnibndlem11  31648  itg2addnclem3  32633  itg2gt0cn  32635  congsym  36553  cvgdvgrat  37534  negsubdi3d  38447  lptre2pt  38707  stoweidlem13  38906  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem26  39026  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem107  39106  etransclem23  39150  sharhght  39703  sigaradd  39704  cevathlem2  39706  fmtnorec3  39998
  Copyright terms: Public domain W3C validator