MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difrp 11744
Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
difrp ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp
StepHypRef Expression
1 posdif 10400 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2 resubcl 10224 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4 elrp 11710 . . . 4 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)))
54baib 942 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
63, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
71, 6bitr4d 270 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  cmin 10145  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  xralrple  11910  lincmb01cmp  12186  iccf1o  12187  expmulnbnd  12858  fsumlt  14373  expcnv  14435  blssps  22039  blss  22040  icchmeo  22548  icopnfcnv  22549  icopnfhmeo  22550  ivthlem2  23028  ivthlem3  23029  c1liplem1  23563  lhop1lem  23580  ftc1lem4  23606  aaliou3lem7  23908  abelthlem7  23996  cosordlem  24081  logdivlti  24170  cxpaddlelem  24292  atantan  24450  birthdaylem3  24480  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  chtppilimlem2  24963  pntrlog2bndlem5  25070  pntlemd  25083  pntlemc  25084  ostth2lem1  25107  ttgcontlem1  25565  lt2addrd  28903  signsplypnf  29953  knoppndvlem20  31692  ftc1cnnclem  32653  cvgdvgrat  37534  sge0gtfsumgt  39336  hoidmvlelem3  39487  vonioolem1  39571  smfmullem1  39676  smfmullem2  39677  smfmullem3  39678
  Copyright terms: Public domain W3C validator