Theorem elioo2 12087

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12079	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2673	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3331	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 266	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 275	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  (,)cioo 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050

This theorem is referenced by:  eliooord  12104  elioopnf  12138  elioomnf  12139  difreicc  12175  xov1plusxeqvd  12189  tanhbnd  14730  bl2ioo  22403  xrtgioo  22417  zcld  22424  iccntr  22432  icccmplem2  22434  reconnlem1  22437  reconnlem2  22438  icoopnst  22546  iocopnst  22547  ivthlem3  23029  ovolicc2lem1  23092  ovolicc2lem5  23096  ioombl1lem4  23136  mbfmax  23222  itg2monolem1  23323  itg2monolem3  23325  dvferm1lem  23551  dvferm2lem  23553  dvlip2  23562  dvivthlem1  23575  lhop1lem  23580  lhop  23583  dvcnvrelem1  23584  dvcnvre  23586  itgsubst  23616  sincosq1sgn  24054  sincosq2sgn  24055  sincosq3sgn  24056  sincosq4sgn  24057  coseq00topi  24058  tanabsge  24062  sinq12gt0  24063  sinq12ge0  24064  cosq14gt0  24066  sincos6thpi  24071  sineq0  24077  cosordlem  24081  tanord1  24087  tanord  24088  argregt0  24160  argimgt0  24162  argimlt0  24163  dvloglem  24194  logf1o2  24196  efopnlem2  24203  asinsinlem  24418  acoscos  24420  atanlogsublem  24442  atantan  24450  atanbndlem  24452  atanbnd  24453  atan1  24455  scvxcvx  24512  basellem1  24607  pntibndlem1  25078  pntibnd  25082  pntlemc  25084  padicabvf  25120  padicabvcxp  25121  dfrp2  28922  cnre2csqlem  29284  ivthALT  31500  iooelexlt  32386  itg2gt0cn  32635  iblabsnclem  32643  dvasin  32666  areacirclem1  32670  areacirc  32675  cvgdvgrat  37534  radcnvrat  37535  sineq0ALT  38195  ioogtlb  38564  eliood  38567  eliooshift  38576  iooltub  38582  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  cncfioobdlem  38782  ditgeqiooicc  38852  dirkercncflem1  38996  dirkercncflem4  38999  fourierdlem10  39010  fourierdlem32  39032  fourierdlem62  39061  fourierdlem81  39080  fourierdlem82  39081  fourierdlem93  39092  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110