MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioomnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioomnf 12139
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioomnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem elioomnf
StepHypRef Expression
1 mnfxr 9975 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 12087 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 702 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4 an32 835 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
5 df-3an 1033 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴))
6 mnflt 11833 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) → -∞ < 𝐵)
87pm4.71i 662 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴) ∧ -∞ < 𝐵))
94, 5, 83bitr4i 291 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴))
103, 9syl6bb 275 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  -∞cmnf 9951  *cxr 9952   < clt 9953  (,)cioo 12046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050
This theorem is referenced by:  bndth  22565  mbfmulc2lem  23220  mbfposr  23225  ismbf3d  23227  mbfi1fseqlem4  23291  itg2monolem1  23323  dvne0  23578  mbfposadd  32627  itg2addnclem2  32632  iblabsnclem  32643  ftc1anclem1  32655  ftc1anclem6  32660  rfcnpre2  38213
  Copyright terms: Public domain W3C validator