Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvne0 23578
 Description: A function on a closed interval with nonzero derivative is either monotone increasing or monotone decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvne0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvne0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvne0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvne0.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvne0.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvne0 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))

Proof of Theorem dvne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvne0.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
2 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
32notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
41, 3syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
54necon2ad 2797 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ≠ 0))
65imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ≠ 0)
7 dvne0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8 cncff 22504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10 dvne0.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 dvne0.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1310, 11, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14 dvfre 23520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
159, 13, 14syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
16 frn 5966 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
1817sselda 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℝ)
19 0re 9919 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
20 lttri2 9999 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2118, 19, 20sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
22 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
23 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0))
2524baib 942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 < 0))
26 elrp 11710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2726baib 942 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝑥))
2825, 27orbi12d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2918, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
3021, 29bitr4d 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+)))
316, 30mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
32 elun 3715 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
3331, 32sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
3433ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+)))
3534ssrdv 3574 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
36 disjssun 3988 . . . . 5 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → (ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3735, 36syl5ibcom 234 . . . 4 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3837imp 444 . . 3 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+)
3910adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
4011adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
417adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
42 dvne0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
4342feq2d 5944 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4415, 43mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
45 ffn 5958 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
4746anim1i 590 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
48 df-f 5808 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
4947, 48sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+)
5039, 40, 41, 49dvgt0 23571 . . . 4 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
5150orcd 406 . . 3 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
5238, 51syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
53 n0 3890 . . . 4 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)))
54 elin 3758 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ↔ (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
55 fvelrnb 6153 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5646, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5710adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5811adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐵 ∈ ℝ)
597adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
6046adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
6144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6261ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
631ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
64 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
65 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
66 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
67 rescncf 22508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)))
6866, 7, 67mpsyl 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6968ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
70 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ ⊆ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
72 fss 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
739, 70, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
7466, 13syl5ss 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
75 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7675tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7775, 76dvres 23481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
7871, 73, 13, 74, 77syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
79 retop 22375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
80 iooretop 22379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
81 isopn3i 20696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
8279, 80, 81mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
8382reseq2i 5314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))
84 fnresdm 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8546, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8683, 85syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8778, 86eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8887dmeqd 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = dom (ℝ D 𝐹))
8988, 42eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
9089ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
9164, 65, 69, 90dvivth 23577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))))
9287ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
9392fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
9492fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
9593, 94oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
9692rneqd 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ran (ℝ D 𝐹))
9791, 95, 963sstr3d 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
9819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
99 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))
100 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)))
10122, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
10299, 101sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
103102simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)
104102simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
105 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
106104, 19, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
107103, 106mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0)
108 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
10965, 62syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
110 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
111104, 109, 110syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
11298, 107, 108, 111mpbir3and 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11397, 112sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
114113expr 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
11563, 114mtod 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
116 ltnle 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11762, 19, 116sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
118115, 117mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)
119 elioomnf 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)))
12022, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0))
12162, 118, 120sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
122121ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
123 ffnfv 6295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0) ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0)))
12460, 122, 123sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0))
12557, 58, 59, 124dvlt0 23572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
126125olcd 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
127126expr 641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
128 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
129128imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
130127, 129syl5ibcom 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
131130rexlimdva 3013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
13256, 131sylbid 229 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
133132impd 446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13454, 133syl5bi 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
135134exlimdv 1848 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13653, 135syl5bi 231 . . 3 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
137136imp 444 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
13852, 137pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  Topctop 20517  intcnt 20631  –cn→ccncf 22487   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  dvne0f1  23579  dvcnvrelem1  23584
 Copyright terms: Public domain W3C validator