Theorem fvelrnb 6153

Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fvelrnb	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelrnb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrnfv 6152	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)})
2	1	eleq2d 2673	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)}))
3		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4		eleq1 2676	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbii 222	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
6	5	rexlimivw 3011	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		eqeq1 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑥)))
8		eqcom 2617	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
9	7, 8	syl6bb 275	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
10	9	rexbidv 3034	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
11	6, 10	elab3 3327	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
12	2, 11	syl6bb 275	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  foelrni  6154  chfnrn  6236  rexrn  6269  ralrn  6270  elrnrexdmb  6272  ffnfv  6295  elunirn  6413  isoini  6488  canth  6508  reldm  7110  seqomlem2  7433  fipreima  8155  ordiso2  8303  inf0  8401  inf3lem6  8413  noinfep  8440  cantnflem4  8472  infenaleph  8797  isinfcard  8798  dfac5  8834  ackbij1  8943  sornom  8982  fin23lem16  9040  fin23lem21  9044  isf32lem2  9059  fin1a2lem5  9109  itunitc  9126  axdc3lem2  9156  zorn2lem4  9204  cfpwsdom  9285  peano2nn  10909  uzn0  11579  om2uzrani  12613  uzrdgfni  12619  uzin2  13932  unbenlem  15450  vdwlem6  15528  0ram  15562  imasmnd2  17150  imasgrp2  17353  pmtrfrn  17701  pgpssslw  17852  efgsfo  17975  efgrelexlemb  17986  gexex  18079  imasring  18442  mpfind  19357  mpfpf1  19536  pf1mpf  19537  lindfrn  19979  2ndcomap  21071  kgenidm  21160  kqreglem1  21354  zfbas  21510  rnelfmlem  21566  rnelfm  21567  fmfnfmlem2  21569  ovolctb  23065  ovolicc2  23097  mbfinf  23238  dvivth  23577  dvne0  23578  aannenlem3  23889  reeff1o  24005  usgraedgrn  25910  usgra2edg  25911  usgrarnedg  25913  vdn0frgrav2  26550  vdgn0frgrav2  26551  rnbra  28350  cnvbraval  28353  pjssdif1i  28418  dfpjop  28425  elpjrn  28433  foresf1o  28727  esumfsup  29459  esumiun  29483  msrid  30696  tailfb  31542  indexdom  32699  cdleme50rnlem  34850  diaelrnN  35352  diaintclN  35365  cdlemm10N  35425  dibintclN  35474  dihglb2  35649  dihintcl  35651  lcfrlem9  35857  mapd1o  35955  hdmaprnlem11N  36170  hgmaprnlem4N  36209  nacsfix  36293  fvelrnbf  38200  cncmpmax  38214  stoweidlem27  38920  stoweidlem31  38924  stoweidlem48  38941  stoweidlem59  38952  stirlinglem13  38979  fourierdlem12  39012  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem70  39069  fourierdlem71  39070  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  sge0tsms  39273  sge0sup  39284  sge0le  39300  sge0isum  39320  sge0seq  39339  nnfoctbdjlem  39348  meadjiunlem  39358  iccpartrn  39968  iccpartnel  39976  fmtnorn  39984  uhgr2edg  40435  ushgredgedga  40456  ushgredgedgaloop  40458  2pthon3v-av  41150