Theorem dihintcl 35651

Description: The intersection of closed subspaces (the range of isomorphism H) is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihintcl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihintcl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihintcl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihintcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihintcl.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihintcl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihfn 35575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
5	1, 2, 3	dihdm 35576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
6	5	fneq2d 5896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
7	4, 6	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
9		cnvimass 5404	. . . . 5 ⊢ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼
10		fnssres 5918	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
11	8, 9, 10	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆))
12		fniinfv 6167	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) Fn (◡𝐼 “ 𝑆) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)))
14		df-ima 5051	. . . . 5 ⊢ (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn (Base‘𝐾))
16		dffn4 6034	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) ↔ 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
17	15, 16	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼)
18		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ⊆ ran 𝐼)
19		foimacnv 6067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:(Base‘𝐾)–onto→ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ ran 𝐼) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
20	17, 18, 19	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 “ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
21	14, 20	syl5eqr 2658	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = 𝑆)
22	21	inteqd 4415	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ ran (𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆)) = ∩ 𝑆)
23	13, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑆)
24		simpl 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → dom 𝐼 = (Base‘𝐾))
26	9, 25	syl5sseq 3616	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾))
27		simprr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝑆 ≠ ∅)
28		n0 3890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
29	27, 28	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑆)
30	18	sselda 3568	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ran 𝐼)
31	25	fneq2d 5896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼 Fn dom 𝐼 ↔ 𝐼 Fn (Base‘𝐾)))
32	15, 31	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fvelrnb 6153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦))
36	30, 35	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦)
37		fnfun 5902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 Fn (Base‘𝐾) → Fun 𝐼)
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → Fun 𝐼)
39		fvimacnv 6240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
40	38, 39	sylan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)))
41		ne0i 3880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
42	40, 41	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐼) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
43	42	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
44		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
45	44	biimprd 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆))
46	45	imim1d 80	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
47	43, 46	syl9 75	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → (𝑦 ∈ 𝑆 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
48	47	com24 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))))
49	48	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ dom 𝐼 → ((𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)))
50	49	rexlimdv 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝑦 → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅))
51	36, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
52	29, 51	exlimddv 1850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)
53		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
54	1, 53, 2, 3	dihglb 35648	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
55	24, 26, 52, 54	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦))
56		fvres 6117	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆) → ((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = (𝐼‘𝑦))
57	56	iineq2i 4476	. . . 4 ⊢ ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)(𝐼‘𝑦)
58	55, 57	syl6eqr 2662	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) = ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦))
59		hlclat 33663	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
60	59	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → 𝐾 ∈ CLat)
61	1, 53	clatglbcl 16937	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼 “ 𝑆) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
62	60, 26, 61	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾))
63	1, 2, 3	dihcl 35577	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
64	62, 63	syldan 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘(◡𝐼 “ 𝑆))) ∈ ran 𝐼)
65	58, 64	eqeltrrd 2689	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑦 ∈ (◡𝐼 “ 𝑆)((𝐼 ↾ (◡𝐼 “ 𝑆))‘𝑦) ∈ ran 𝐼)
66	23, 65	eqeltrrd 2689	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ⊆ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ≠ ∅)) → ∩ 𝑆 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ cint 4410  ∩ ciin 4456  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  glbcglb 16766  CLatccla 16930  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DIsoHcdih 35535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536

This theorem is referenced by:  doch2val2  35671  dochocss  35673