MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelrnb Structured version   Unicode version

Theorem fvelrnb 5736
Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
fvelrnb  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fvelrnb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnrnfv 5735 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
21eleq2d 2508 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } ) )
3 fvex 5698 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4 eleq1 2501 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
65rexlimivw 2835 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
7 eqeq1 2447 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  B  =  ( F `  x ) ) )
8 eqcom 2443 . . . . 5  |-  ( B  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  B )
97, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  x )  =  B ) )
109rexbidv 2734 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
116, 10elab3 3110 . 2  |-  ( B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B )
122, 11syl6bb 261 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   ran crn 4837    Fn wfn 5410   ` cfv 5415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423
This theorem is referenced by:  chfnrn  5811  rexrn  5842  ralrn  5843  elrnrexdmb  5845  ffnfv  5866  fconstfv  5937  elunirn  5965  isoini  6026  canth  6046  reldm  6624  seqomlem2  6902  fipreima  7613  ordiso2  7725  inf0  7823  inf3lem6  7835  noinfep  7861  noinfepOLD  7862  cantnflem4  7896  cantnflem4OLD  7918  infenaleph  8257  isinfcard  8258  dfac5  8294  ackbij1  8403  sornom  8442  fin23lem16  8500  fin23lem21  8504  isf32lem2  8519  fin1a2lem5  8569  itunitc  8586  axdc3lem2  8616  zorn2lem4  8664  cfpwsdom  8744  peano2nn  10330  uzn0  10872  om2uzrani  11771  uzrdgfni  11777  uzin2  12828  unbenlem  13965  vdwlem6  14043  0ram  14077  imasmnd2  15454  imasgrp2  15663  pmtrfrn  15957  pgpssslw  16106  efgsfo  16229  efgrelexlemb  16240  gexex  16328  imasrng  16701  mpfind  17598  mpfpf1  17754  pf1mpf  17755  lindfrn  18209  bwthOLD  18973  2ndcomap  19021  kgenidm  19079  kqreglem1  19273  zfbas  19428  rnelfmlem  19484  rnelfm  19485  fmfnfmlem2  19487  ovolctb  20932  ovolicc2  20964  mbfinf  21102  dvivth  21441  dvne0  21442  aannenlem3  21755  reeff1o  21871  usgraedgrn  23235  usgra2edg  23236  usgrarnedg  23238  rnbra  25446  cnvbraval  25449  pjssdif1i  25514  dfpjop  25521  elpjrn  25529  esumfsup  26455  ghomgrpilem2  27234  tailfb  28523  indexdom  28553  nacsfix  28973  fvelrnbf  29665  cncmpmax  29679  stoweidlem27  29747  stoweidlem31  29751  stoweidlem48  29768  stoweidlem59  29779  stirlinglem13  29806  vdn0frgrav2  30541  vdgn0frgrav2  30542  cdleme50rnlem  33910  diaelrnN  34412  diaintclN  34425  cdlemm10N  34485  dibintclN  34534  dihglb2  34709  dihintcl  34711  lcfrlem9  34917  mapd1o  35015  hdmaprnlem11N  35230  hgmaprnlem4N  35269
  Copyright terms: Public domain W3C validator