MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelrnb Unicode version

Theorem fvelrnb 5733
Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
fvelrnb  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fvelrnb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnrnfv 5732 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
21eleq2d 2471 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } ) )
3 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4 eleq1 2464 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbii 203 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
65rexlimivw 2786 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
7 eqeq1 2410 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  B  =  ( F `  x ) ) )
8 eqcom 2406 . . . . 5  |-  ( B  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  B )
97, 8syl6bb 253 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  x )  =  B ) )
109rexbidv 2687 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
116, 10elab3 3049 . 2  |-  ( B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B )
122, 11syl6bb 253 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   ran crn 4838    Fn wfn 5408   ` cfv 5413
This theorem is referenced by:  chfnrn  5800  rexrn  5831  ralrn  5832  elrnrexdmb  5834  ffnfv  5853  fconstfv  5913  elunirnALT  5959  isoini  6017  reldm  6357  canth  6498  seqomlem2  6667  fipreima  7370  ordiso2  7440  inf0  7532  inf3lem6  7544  noinfep  7570  noinfepOLD  7571  cantnflem4  7604  infenaleph  7928  isinfcard  7929  dfac5  7965  ackbij1  8074  sornom  8113  fin23lem16  8171  fin23lem21  8175  isf32lem2  8190  fin1a2lem5  8240  itunitc  8257  axdc3lem2  8287  zorn2lem4  8335  cfpwsdom  8415  peano2nn  9968  uzn0  10457  om2uzrani  11247  uzrdgfni  11253  uzin2  12103  unbenlem  13231  vdwlem6  13309  0ram  13343  imasmnd2  14687  imasgrp2  14888  pgpssslw  15203  efgsfo  15326  efgrelexlemb  15337  gexex  15423  imasrng  15680  2ndcomap  17474  kgenidm  17532  kqreglem1  17726  zfbas  17881  rnelfmlem  17937  rnelfm  17938  fmfnfmlem2  17940  ovolctb  19339  ovolicc2  19371  mbfinf  19510  dvivth  19847  dvne0  19848  mpfind  19918  mpfpf1  19924  pf1mpf  19925  aannenlem3  20200  reeff1o  20316  usgraedgrn  21354  usgra2edg  21355  usgrarnedg  21357  rnbra  23563  cnvbraval  23566  pjssdif1i  23631  dfpjop  23638  elpjrn  23646  esumfsup  24413  ghomgrpilem2  25050  tailfb  26296  indexdom  26326  nacsfix  26656  lindfrn  27159  pmtrfrn  27268  fvelrnbf  27556  cncmpmax  27570  stoweidlem27  27643  stoweidlem31  27647  stoweidlem48  27664  stoweidlem59  27675  stirlinglem13  27702  vdn0frgrav2  28128  vdgn0frgrav2  28129  cdleme50rnlem  31026  diaelrnN  31528  diaintclN  31541  cdlemm10N  31601  dibintclN  31650  dihglb2  31825  dihintcl  31827  lcfrlem9  32033  mapd1o  32131  hdmaprnlem11N  32346  hgmaprnlem4N  32385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421
  Copyright terms: Public domain W3C validator