Theorem fvelrnb 4719

Description: A member of a function's range is a value of the function.

Assertion

Ref	Expression
fvelrnb	|- (F Fn A -> (B e. ran F <-> E.x e. A (F` x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem fvelrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrnfv 4718	. . 3 |- (F Fn A -> ran F = {y | E.x e. A y = (F` x)})
2	1	eleq2d 1964	. 2 |- (F Fn A -> (B e. ran F <-> B e. {y | E.x e. A y = (F` x)}))
3		fvex 4689	. . . . . 6 |- (F` x) e. _V
4		eleq1 1957	. . . . . 6 |- ((F` x) = B -> ((F` x) e. _V <-> B e. _V))
5	3, 4	mpbii 210	. . . . 5 |- ((F` x) = B -> B e. _V)
6	5	a1i 8	. . . 4 |- (x e. A -> ((F` x) = B -> B e. _V))
7	6	r19.23aiv 2211	. . 3 |- (E.x e. A (F` x) = B -> B e. _V)
8		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (y = B -> (y = (F` x) <-> B = (F` x)))
9		eqcom 1886	. . . . 5 |- (B = (F` x) <-> (F` x) = B)
10	8, 9	syl6bb 595	. . . 4 |- (y = B -> (y = (F` x) <-> (F` x) = B))
11	10	rexbidv 2124	. . 3 |- (y = B -> (E.x e. A y = (F` x) <-> E.x e. A (F` x) = B))
12	7, 11	elab3 2412	. 2 |- (B e. {y | E.x e. A y = (F` x)} <-> E.x e. A (F` x) = B)
13	2, 12	syl6bb 595	1 |- (F Fn A -> (B e. ran F <-> E.x e. A (F` x) = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  ran crn 3987   Fn wfn 3993  ` cfv 3998

This theorem is referenced by:  elrnopabg 4773  chfnrn 4775  ffnfv 4801  fconstfv 4825  elunirnALT 4845  isoini 4877  elrnoprabg 5066  canth 5112  mapenlem2 5584  ordiso 5683  ordtypelem4 5687  inf0 5712  inf3lem6 5724  noinfep 5747  omsubinit 5890  aceq5 5902  zorn2lem4 5953  isinfcard 6035  fsequb2 7703  om2uzrani 7711  seq1ublem 8163  climsupi 8415  cvgcmpubi 8446  reeff1o 8691  unbenlem 8773  ruclem33 8811  ruclem35 8813  ruclem37 8815  ghgrpilem2 9442  ubthlem6 9877  fipreima 10175  bra11 11679  cnvbraval 11681  pjssdif1i 11747  pjhmopidm 11754  ghomgrpilem2 13629  bwt2 14960  ordisoOLD 15374  ordtypelem4OLD 15378  omsubinitOLD 15399  hscptsscld 15434  rnelfmlem 15592  rnelfm 15593  fmfnfmlem2 15595  tailmap 15636  tailfb 15639  filnetlem5 15644  indexdom 15754  fipreimaOLD 15756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain