MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelrnb Structured version   Unicode version

Theorem fvelrnb 5913
Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
fvelrnb  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fvelrnb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnrnfv 5912 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
21eleq2d 2537 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } ) )
3 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
65rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
7 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  B  =  ( F `  x ) ) )
8 eqcom 2476 . . . . 5  |-  ( B  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  B )
97, 8syl6bb 261 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  x )  =  B ) )
109rexbidv 2973 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
116, 10elab3 3257 . 2  |-  ( B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B )
122, 11syl6bb 261 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   ran crn 5000    Fn wfn 5581   ` cfv 5586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-fv 5594
This theorem is referenced by:  chfnrn  5990  rexrn  6021  ralrn  6022  elrnrexdmb  6024  ffnfv  6045  fconstfv  6121  elunirn  6149  isoini  6220  canth  6240  reldm  6832  seqomlem2  7113  fipreima  7822  ordiso2  7936  inf0  8034  inf3lem6  8046  noinfep  8072  noinfepOLD  8073  cantnflem4  8107  cantnflem4OLD  8129  infenaleph  8468  isinfcard  8469  dfac5  8505  ackbij1  8614  sornom  8653  fin23lem16  8711  fin23lem21  8715  isf32lem2  8730  fin1a2lem5  8780  itunitc  8797  axdc3lem2  8827  zorn2lem4  8875  cfpwsdom  8955  peano2nn  10544  uzn0  11093  om2uzrani  12027  uzrdgfni  12033  uzin2  13136  unbenlem  14281  vdwlem6  14359  0ram  14393  imasmnd2  15771  imasgrp2  15985  pmtrfrn  16279  pgpssslw  16430  efgsfo  16553  efgrelexlemb  16564  gexex  16652  imasrng  17052  mpfind  17976  mpfpf1  18158  pf1mpf  18159  lindfrn  18623  bwthOLD  19677  2ndcomap  19725  kgenidm  19783  kqreglem1  19977  zfbas  20132  rnelfmlem  20188  rnelfm  20189  fmfnfmlem2  20191  ovolctb  21636  ovolicc2  21668  mbfinf  21807  dvivth  22146  dvne0  22147  aannenlem3  22460  reeff1o  22576  usgraedgrn  24057  usgra2edg  24058  usgrarnedg  24060  vdn0frgrav2  24700  vdgn0frgrav2  24701  rnbra  26702  cnvbraval  26705  pjssdif1i  26770  dfpjop  26777  elpjrn  26785  esumfsup  27716  ghomgrpilem2  28501  tailfb  29798  indexdom  29828  nacsfix  30248  fvelrnbf  30971  cncmpmax  30985  stoweidlem27  31327  stoweidlem31  31331  stoweidlem48  31348  stoweidlem59  31359  stirlinglem13  31386  fourierdlem12  31419  fourierdlem41  31448  fourierdlem42  31449  fourierdlem46  31453  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem70  31477  fourierdlem71  31478  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem102  31509  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem114  31521  cdleme50rnlem  35340  diaelrnN  35842  diaintclN  35855  cdlemm10N  35915  dibintclN  35964  dihglb2  36139  dihintcl  36141  lcfrlem9  36347  mapd1o  36445  hdmaprnlem11N  36660  hgmaprnlem4N  36699
  Copyright terms: Public domain W3C validator