Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0isum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0isum 39320
Description: If a series of nonnegative reals is convergent, then it agrees with the generalized sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0isum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0isum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0isum.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0isum.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
sge0isum.gcnv (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
sge0isum (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)

Proof of Theorem sge0isum
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0isum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 fvex 6113 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . . . 5 𝑍 ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
5 sge0isum.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
6 icossicc 12131 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
85, 7fssd 5970 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
94, 8sge0xrcl 39278 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
10 sge0isum.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 sge0isum.g . . . . . 6 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
12 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
13 rge0ssre 12151 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
145ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
1513, 14sseldi 3566 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
16 0xr 9965 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
18 pnfxr 9971 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
20 icogelb 12096 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2117, 19, 14, 20syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
22 seqex 12665 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
2311, 22eqeltri 2684 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ V)
25 sge0isum.gcnv . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐵)
26 climcl 14078 . . . . . . . . . 10 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
28 breldmg 5252 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
2924, 27, 25, 28syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
3011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
3130fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
321eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3332biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
35 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
36 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3736, 1syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3935, 38, 15syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
40 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
4234, 39, 41seqcl 12683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
4331, 42eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4443recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
4544ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
461climbdd 14250 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝ ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ∈ ℂ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
4710, 29, 45, 46syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
4843ad4ant13 1284 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℝ)
4944ad4ant13 1284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ∈ ℂ)
5049abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ∈ ℝ)
51 simpllr 795 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5248leabsd 14001 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ (abs‘(𝐺𝑗)))
53 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥)
5448, 50, 51, 52, 53letrd 10073 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
5554ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → ((abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5655ralimdva 2945 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5756reximdva 3000 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (abs‘(𝐺𝑗)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥))
5847, 57mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
591, 11, 10, 12, 15, 21, 58isumsup2 14417 . . . . 5 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
601, 10, 59, 43climrecl 14162 . . . 4 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6160rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
625feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
6362fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
64 mpteq1 4665 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)))
6564fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))))
66 mpt0 5934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘)) = ∅
6766fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = (Σ^‘∅)
68 sge00 39269 . . . . . . . . . . . 12 ^‘∅) = 0
6967, 68eqtri 2632 . . . . . . . . . . 11 ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7165, 70eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
7271adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) = 0)
73 0red 9920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
7440adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
751, 10, 15, 74seqf 12684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
7611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
7776feq1d 5943 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
7875, 77mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
79 frn 5966 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝑍⟶ℝ → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
81 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝑍⟶ℝ → Fun 𝐺)
8278, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Fun 𝐺)
83 uzid 11578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8410, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
851eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑀) = 𝑍
8684, 85syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑍)
87 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺:𝑍⟶ℝ → dom 𝐺 = 𝑍)
8878, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐺 = 𝑍)
8988eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = dom 𝐺)
9086, 89eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ dom 𝐺)
91 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐺𝑀 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
9282, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺)
9380, 92sseldd 3569 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ ℝ)
9416a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
9518a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
965, 86ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞))
97 icogelb 12096 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9894, 95, 96, 97syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑀))
9911fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀)
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺𝑀) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀))
101 seq1 12676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
10210, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
103100, 102eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐺𝑀))
10498, 103breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐺𝑀))
105 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺 → ran 𝐺 ≠ ∅)
10692, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐺 ≠ ∅)
107 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
108 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺:𝑍⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑍)
10978, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
110 fvelrnb 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
113107, 112mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
114113adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
115 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝜑
116 nfra1 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥
117115, 116nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
118 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗 𝑧 ∈ ran 𝐺
119117, 118nfan 1816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺)
120 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑧𝑥
121 rspa 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
1221213adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
123 simp3 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺𝑗) = 𝑧 → (𝐺𝑗) = 𝑧)
125124eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 = (𝐺𝑗))
126125adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐺𝑗))
127 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
128126, 127eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺𝑗) ≤ 𝑥 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
129122, 123, 128syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧𝑥)
1301293exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
131130ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥)))
132119, 120, 131rexlimd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧𝑥))
133114, 132mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧𝑥)
134133ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
135134ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
136135reximdv 2999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥))
13758, 136mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
138 suprub 10863 . . . . . . . . . . 11 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (𝐺𝑀) ∈ ran 𝐺) → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
13980, 106, 137, 92, 138syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑀) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
14073, 93, 60, 104, 139letrd 10073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
141140ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → 0 ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
14272, 141eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
143 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
144 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
145 elpwinss 38241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦𝑍)
146145sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
147146adantll 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝑍)
1486, 14sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
149144, 147, 148syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
150 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))
151149, 150fmptd 6292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘)):𝑦⟶(0[,]+∞))
152143, 151sge0xrcl 39278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
153152adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
154 fzfid 12634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ Fin)
155 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
156155, 85syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) → 𝑘𝑍)
157156, 148sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
158 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))
159157, 158fmptd 6292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
160159adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘)):(𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))⟶(0[,]+∞))
161154, 160sge0xrcl 39278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
162161adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ℝ*)
16361adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
164163adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
165 simpll 786 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝜑)
166156adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → 𝑘𝑍)
167165, 166, 148syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
168 elinel2 3762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
1691, 145, 168ssuzfz 38506 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
170169adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )))
171154, 167, 170sge0lessmpt 39292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
172171adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))))
17380adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
174173adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
175106adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ran 𝐺 ≠ ∅)
176175adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ran 𝐺 ≠ ∅)
177137adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
178177adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥)
179165, 166, 14syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
180154, 179sge0fsummpt 39283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
181180adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘))
182 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
183145, 1syl6sseq 3614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ (ℤ𝑀))
185 uzssz 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
1861, 185eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑍 ⊆ ℤ
187145, 186syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ ℤ)
188187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ⊆ ℤ)
189 neqne 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 = ∅ → 𝑦 ≠ ∅)
190189adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ≠ ∅)
191168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑦 ∈ Fin)
192 suprfinzcl 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ⊆ ℤ ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
193188, 190, 191, 192syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑦)
194184, 193sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
195194adantll 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
19615recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
197165, 166, 196syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
198197adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
199182, 195, 198fsumser 14308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < ))(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )))
20011eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
201200fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < ))
202201a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘sup(𝑦, ℝ, < )) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
203181, 199, 2023eqtrd 2648 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) = (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )))
20482adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Fun 𝐺)
205204adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → Fun 𝐺)
206195, 85syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ 𝑍)
20789ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → 𝑍 = dom 𝐺)
208206, 207eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺)
209 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺 ∧ sup(𝑦, ℝ, < ) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
210205, 208, 209syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (𝐺‘sup(𝑦, ℝ, < )) ∈ ran 𝐺)
211203, 210eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺)
212 suprub 10863 . . . . . . . . 9 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ∈ ran 𝐺) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
213174, 176, 178, 211, 212syl31anc 1321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝑦, ℝ, < )) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
214153, 162, 164, 172, 213xrletrd 11869 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ ¬ 𝑦 = ∅) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
215142, 214pm2.61dan 828 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
216215ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
217 nfv 1830 . . . . . 6 𝑘𝜑
218217, 4, 148, 61sge0lefimpt 39316 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑘𝑦 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < )))
219216, 218mpbird 246 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
22063, 219eqbrtrd 4605 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
22137ssriv 3572 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
2234, 148, 222sge0lessmpt 39292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
2242233ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
225 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
22637, 14sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
227225, 226sge0fsummpt 39283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
2282273ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
22935, 38, 12syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23035, 38, 196syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
231229, 34, 230fsumser 14308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
2322313adant3 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
233228, 232eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
234200fveq1i 6104 . . . . . . . . . . . . 13 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
235234a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
236 simp3 1056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
237233, 235, 2363eqtrrd 2649 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
238633ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
239237, 238breq12d 4596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
240224, 239mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2412403exp 1256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
242241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
243242rexlimdv 3012 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
244113, 243mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
245244ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
2464, 8sge0cl 39274 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞))
24760ltpnfd 11831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) < +∞)
2489, 61, 95, 220, 247xrlelttrd 11867 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ^𝐹) < +∞)
2499, 95, 248xrgtned 38479 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ≠ (Σ^𝐹))
250249necomd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≠ +∞)
251 ge0xrre 38605 . . . . . 6 (((Σ^𝐹) ∈ (0[,]+∞) ∧ (Σ^𝐹) ≠ +∞) → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
252246, 250, 251syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ)
253 suprleub 10866 . . . . 5 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐺 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧𝑥) ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ) → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
25480, 106, 137, 252, 253syl31anc 1321 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
255245, 254mpbird 246 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ, < ) ≤ (Σ^𝐹))
2569, 61, 220, 255xrletrid 11862 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
257 climuni 14131 . . 3 ((𝐺𝐵𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < )) → 𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
25825, 59, 257syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐵 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
259256, 258eqtr4d 2647 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cz 11254  cuz 11563  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264  Σ^csumge0 39255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-sumge0 39256
This theorem is referenced by:  sge0isummpt  39323
  Copyright terms: Public domain W3C validator